Problème A327. Les nombres prospères
Louis ROGLIANO
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Il suffit pour cela de considérer une équation de Pell-Fermat de la formex2−ay2 = 1dans laquelleaest, par exemple, un cube qui ne soit pas un carré. Cette équation admet une infinité de solutions et les paires d’entiers consécutifs(ay2, x2)répondent aux conditions du problème.
Exemple:
Prenons l’équation x2 −27y2 = 1. Le développement en fraction continue de √
27est27 = [5,5,10]. La réduite de rang 2 −1 = 1 est 5 + 1
5 = 26
5 qui donne un premier couple solution (26,5). On vérifie que262 −27×52 = 1. Les autres solutions, en nombre infini, sont données par la formule de récurrence (xn+1, yn+1) = (26xn+ 27×5yn,5xn+ 26yn). Les deux solutions suivantes sont :(1351,260)et(70226,13515) etc….
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