We prove that there exists a constantC1>0 such that, for alln≥3, logh(n)≤λlogn−C1(logn)1/λ log logn holds

DOI 10.1007/s11139-007-9028-6

Grandes valeurs du nombre de factorisations d’un entier en produit ordonné de facteurs premiers

Mohand-Ouamar Hernane·Jean-Louis Nicolas

Received: 6 January 2004 / Accepted: 14 February 2005 / Published online: 31 August 2007

© Springer Science+Business Media, LLC 2007

Abstract Among various functions used to count the factorizations of an inte- ger n, we consider here the number of ways of writing n as an ordered prod- uct of primes, which, if n=q₁^α1q₂^α2. . . q_k^αk, is equal to the multinomial coefficient h(n)= ^(α1_α⁺_1!^α_α²₂^+···+_{! ···αk}^α_!^k)!. The function P (s) =

pprimep^−s, sometimes called the prime zeta function, plays an important role in the study of the functionh. We denote byλ=1.399433. . .the real number defined byP (λ)=1. The mean value of the functionhsatisfies ¹_x

n≤xh(n)∼ −_λP¹(λ)x^λ−1. In this paper, we study how large h(n)can be. We prove that there exists a constantC1>0 such that, for alln≥3, logh(n)≤λlogn−C1(logn)^1/λ

log logn holds. We also prove that there exists a constantC2

such that, for alln≥3, there existsm≤nsatisfying logh(m)≥λlogn−C2(logn)^1/λ log logn . Let us callh-champion an integerN such thatM < Nimpliesh(M) < h(N ). S. Ra- manujan has called highly composite aτ-champion number, whereτ (n)=

d|n1 is the number of divisors ofn. We give several results about the number of prime factors of anh-champion numberN, about the exponents in the standard factorization into primes of such anN and about the numberQ(X)of h-champion numbersN≤X.

At the end of the paper, several open problems are listed.

Keywords Factorization·Highly composite numbers·Prime zeta function· Optimization

Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Camille Jordan, UMR 5208 et par l’action de coopération franco-algérienne 01 MDU 514, Arithmétique, Géométrie Algébrique et Applications.

M.-O. Hernane

Institut de Mathématiques, Université Houari Boumédienne, BP 32, El Alia, 16111 Bab Ezzouar, Alger, Algeria

e-mail: hernane_m@caramail.com J.-L. Nicolas (⁾

Institut Camille Jordan, Mathématiques, Université Claude Bernard (Lyon 1), 69622 Villeurbanne cedex, France

e-mail: jlnicola@in2p3.fr

Mathematics Subject Classification (2000) Primary 11A25·11N37

1 Introduction

1.1 Diverses fonctions de factorisation

La fonction de factorisation la plus classique est le nombre de diviseurs de l’entiern: τ (n)=

d|n

1 (1.1)

qui est aussi le nombre de solutions de l’équation diophantiennex1x2=nen entiers positifsx₁etx₂.

Pourr≥2, le nombre de solutions de l’équation diophantienne

x1x2. . . x_r=n (1.2)

estτr(n), le nombre de décomposition denen produit der facteurs. On aτ2(n)= τ (n), et la série génératrice vaut

∞ n=1

τr(n)

n^s =(ζ (s))^r (1.3)

oùζ (s)=_∞

n=11/n^s est la fonction de Riemann.

La fonction de Kalmár (cf. [17–19], [10] et aussi [33])f_K(n)compte le nombre de solutions de (1.2) pour toutr, mais avec la restriction que chaque facteurxi doit vérifier x_i ≥2. Ainsi,f_K(12)=8 et les 8 factorisations de 12 sont : 12=6·2= 4·3=3·4=3·2·2=2·6=2·3·2=2·2·3. La fonction de Kalmár satisfait f_K(n)=¹₂

d|nf_Kn

d

pourn≥2 avecf_K(1)=1 et sa série génératrice est ∞

n=1

f_K(n)

n^s = 1

2−ζ (s). (1.4)

Elle est reliée à la fonctionτ_r par la formule f_K(n)=1

2 ∞ r=1

τ_r(n)

2^r pourn≥2.

La fonction d’Oppenheim (cf. [2,25] et [14]),f_O(n), a la même définition que celle de Kalmár, mais, cette fois, l’ordre ne compte pas : les trois factorisations de 12 : 3·2·2, 2·3·2 et 2·2·3 ne comptent que pour une. Ainsi, 12 n’a plus que 4 factorisations d’Oppenheim : 12=6·2=4·3=3·2·2 etfO(12)=4. Elle a pour série génératrice (cf. [23])

∞ n=1

f_O(n)

n^s =

n≥2

1− 1

n^s

−1

. (1.5)

SoitA⊂ {2,3,4, . . .}; dans [16] et [9] (cf. aussi [21] et [22]), E. Hille et P. Erd˝os ont généralisé la fonction de Kalmár en définissant la fonction f_A(n) qui compte le nombre de solutions de (1.2) pour toutr, avec la restriction que chaquex_i doit vérifier x_i ∈A. La fonction de Kalmár apparaît ainsi commef_K(n)=f_N\{0,1}(n).

La formule (1.4) se généralise sous certaines conditions : ∞

n=1

f_A(n)

n^s = 1

1−ζ_A(s) avecζ_A(s)=

n∈A

1

n^s. (1.6)

1.2 La fonctionh=f_P

SoitP = {2,3,5,7,11,13, . . .}l’ensemble des nombres premiers. Dans cet article, nous nous intéresserons essentiellement à la fonction f_P(n), que nous appellerons h(n) et qui est donc le nombre de solutions de (1.2) en nombres premiers x1, x2, . . . , xr. Soitn=q₁^α1q₂^α2. . . q_k^αket(n)=α1+α2+ · · · +αk. La seule possibilité d’écrirensous la forme (1.2) avecx1,x2, . . . , xr premiers est de prendrer=(n)et de choisirα1variablesxi égales àq1,α2égales àq2, . . . , αkégales àqk. Le nombre de façons de faire ces choix est le coefficient multinomial (cf. [4, p. 38]) et l’on a donc

h(n)=

α₁+α₂+ · · · +α_k

α₁, α₂, . . . , α_k =(α1+α2+ · · · +αk)!

α1!α2! · · ·α_k! (1.7) pourn≥2 eth(1)=1. Nous définissons

P (s)=ζ_P(s)=

p∈P

1 p^s = 1

2^s + 1 3^s + 1

5^s + 1

7^s + · · ·, s >1. (1.8) La fonctionP est quelquefois appelée la fonctionζ des nombres premiers (cf. [28, p. 69]). La série génératrice deh(n)est, d’après (1.6)

∞ n=1

h(n)

n^s = 1

1−P (s), s > λ (1.9)

oùλest défini par

P (λ)=1, λ=1.399433. . . , (1.10) et l’on a

h(n)=

p∈P, p|n

h n

p pourn≥2. (1.11)

Il résulte de (1.9) que

n≤x

h(n)= −1

λP(λ)x^λ(1+o(1)), x→ ∞ (1.12) cf. [22], où est aussi étudié l’ordre normal des fonctionsfK,fOeth, et [31].

1.3 Grandes valeurs des fonctions de factorisation

S. Ramanujan fût le premier, dans [26], à étudier de façon extensive les grandes valeurs de la fonctionτ définie par (1.1). Pour cela, il a introduit les nombres haute- ment composés (un nombre N est dit hautement composé siM < N ⇒τ (M) <

τ (N )) et donné de nombreuses propriétés de ces nombres.

Diverses généralisations des idées de S. Ramanujan ont été développées (cf. [24]), essentiellement en remplaçant la fonctionτ par une autre fonction arithmétique. Les grandes valeurs deτ_r, définie par (1.3), sont étudiées dans [6].

Les grandes valeurs de la fonction d’Oppenheim sont étudiées dans [2] et [20].

Quant à la fonction de Kalmár, à la fin de [9, pp. 992–993], P. Erd˝os dit qu’il sait démontrer qu’il existe deux constantesc₁etc₂, 0< c₁< c₂<1, telles que, pour une suite infinie de valeurs den, on aît

f_K(n) > n^ρ

e^(logn)c1 (1.13)

(oùρ=1.728647. . .est défini parζ (ρ)=2) et que, pour toutn > n₀, f_K(n) < n^ρ

e^(logn)c2. (1.14)

Les grandes valeurs de la fonction de Kalmár ont été précisées par R. Evans (cf. [10, Th. 6 et 7]).

1.4 Grandes valeurs de la fonctionh

Nous nous proposons dans cet article d’étudier les grandes valeurs de la fonctionh définie par (1.7), autrement dit, de résoudre le problème d’optimisation en nombres entiers

n≤X,

maxh(n). (1.15)

Soitp1=2,p2=3, . . . , pk lek-ième nombre premier. Par (1.7), le problème (1.15) est, pourkassez grand, équivalent à

x₁log 2+x₂log 3+ · · · +x_klogp_k≤logX, max log_{(x1+x2+···+xk)!}

x1!x2! ···xk!

(1.16)

où les inconnuesx_i sont des entiers positifs ou nuls. Grâce à la formule de Stirling, nous remplaçons dans (1.16) la fonction à optimiser par une fonction plus grande, F (x₁, x₂, . . . , x_k), définie en (2.1) ci-dessous. Le problème

x1log 2+x2log 3+ · · · +x_klogp_k≤logX,

maxF (x₁, x₂, . . . , x_k) (1.17) a une solution simple, x₁^∗, x₂^∗, . . . , x_k^∗, donnée au paragraphe 4, qui permet de ma- jorerh(n). Pour une valeur dekconvenable, en choisissant pourα_i un entier voisin

dex_i^∗, on construit des nombres entiers n=p₁^α1p₂^α2. . . p^α_k^k avec une grande valeur deh(n).

Au paragraphe 6, nous étudierons les propriétés des nombres h-champion. Un nombreNest dith-champion si

M < N⇒h(M) < h(N ). (1.18)

Nous montrons que le nombreω(N )de facteurs premiers d’un nombreh-champion satisfaitω(N )∼λa^{1/λ (}_{log logN}^{logN )1/λ} et que(N ), le nombre de facteurs premiers comp- tés avec multiplicité, satisfait(N )∼2^λalogN, oùa est une constante définie au paragraphe 3. Nous donnons enfin un encadrement (assez grossier) pour Q(X), le nombre de nombresN≤Xqui sonth-champions.

Le pragraphe7présente une liste de problèmes ouverts.

1.5 Notations

Nous noteronstla partie entière du nombre réelt. Dans tout l’article, on désigne par p_k le k-ième nombre premier (p1=2, p2=3, etc.) et par q1, q2, . . . , q_k des nombres premiers quelconques. La décomposition en facteurs premiers d’un entier génériquensera notéen=q₁^α1q₂^α2. . . q_k^αk,q1< q2<· · ·< q_k. On désigne parv_p(n) la valuationp-adique denet parω(n)(resp.(n)) le nombre de facteurs premiers (resp. comptés avec multiplicité) de n. Enfin, N désignera toujours un nombre h- champion.

2 Approximation de log(h)parF

Proposition 1 Soit la décomposition en facteurs premiers de n=q₁^α1q₂^α2. . . q_k^αk eth(n)défini par (1.7). Soit x1, x2, . . . , xk des nombres réels positifs ou nuls ; on pose

F (x₁, x₂, . . . , x_k)=(x₁+x₂+· · ·+x_k)log(x1+x₂+· · ·+x_k)− k

i=1

x_ilogx_i (2.1)

avec la conventiontlogt=0 sit=0. Alors, pour toutn≥2, on a (i) logh(n)≤F (α₁, α₂, . . . , α_k)−k−1

3 ≤F (α₁, α₂, . . . , α_k)

(ii) logh(n)≥F (α1, α2, . . . , αk)−k−1 2

k i=1

logαi.

Démonstration Nous utiliserons la formule valable pour toutm≥1 m^mexp(−m)√

2π m≤m! ≤em^mexp(−m)√

m. (2.2)

La formule (2.2) se déduit de la formule de Stirling classique (cf. [1, 6.1.38]), valable pourm≥1

m! =m^mexp(−m)√

2π mexp θ

12m avec 0< θ <1 (2.3) car, pour m≥2, √

2πexp(1/24)=2.61. . . < e, et pour m=1, la majoration dans (2.2) est évidente.

Majoration. Lorsque k=1, on a h(n)=1, F (α1)=0 et (i) est vérifiée. Nous pouvons donc supposerk≥2.

En utilisant (1.7), (2.2) et (2.1), il vient h(n)≤exp(F (α1, α2, . . . , α_k))e√

α1+α2+ · · · +αk

(2π )^k2√

α1α2· · ·α_k

. (2.4)

Mais,αi≥1, et

α1+α2+ · · ·αk

α1α2· · ·αk = α1

α1α2· · ·αk + · · · + αk

α1α2· · ·αk ≤k≤2^k−1 et (2.4) entraîne, cark≥2,

h(n)exp(−F (α1, α2, . . . , αk))≤e2^k−12 (2π )^−k/2= e

√2 π^1−k3 π^k+62

≤ e

√2π^2/3π^1−3k ≤e^1−3k ce qui prouve (i).

Minoration. Par (1.7), (2.2) et (2.1), il vient h(n)exp(−F (α1, α2, . . . , αk))≥

√2π(α1+α₂+ · · ·α_k)

e^k√α₁α₂· · ·α_k ≥ 1 e^k√α₁α₂· · ·α_k

ce qui prouve (ii).

3 Étude deλetλ_k

Soitp1=2,p2=3, . . . , pklek-ième nombre premier. Pourk≥1, on pose : P_k(s)=

k

j=1

1

p_j^s. (3.1)

Pour chaquekfixé, la fonctionPk(s)décroît dekà 0 lorsquesvarie de 0 à+∞; elle admet donc une fonction réciproqueP_k⁻¹(y)définie pour 0< y≤k. On pose

λk=P_k⁻¹(1), autrement dit Pk(λk)=1. (3.2)

La série_∞

j=1 1

p_j^s converge normalement pours≥s₀>1 et donc la suite des sommes partielles (P_k(s))_k≥1 converge uniformément vers P (s) pour s≥s₀>1 ; par les méthodes habituelles de l’analyse, il est facile de montrer

λ1< λ2<· · ·< λk<· · ·< λ et lim

k→∞λk=λ. (3.3)

On a

k= 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000

λ_k= 0 0.788 1.033 1.147 1.201 1.304 1.384 1.396 1.398 La valeur numérique deλdonnée en (1.10) peut être calculée avec précision à l’aide de la formule ([28, p. 70])

P (s)= ∞ m=1

μ(m)

m logζ (ms) (3.4)

par les méthodes indiquées dans [3].

Proposition 2 Soitk≥1,λ_kdéfini par (3.2) etλpar (1.10). Lorsquek→ ∞, on a

λ−λ_k∼ 1

−(λ−1)P(λ)k^λ−1(logk)^λ = 1.44617. . .

k^λ−1(logk)^λ. (3.5) Démonstration Soitπ(x)le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux àx. Le théorème des nombres premiers (cf. [8, Th. 4.7]) donne

π(x)=Li(x)+R(x) (3.6)

où le logarithme intégral Li est défini en [1, p. 228] et R(x)=Oν

x

(logx)^ν (3.7)

où ν est un nombre réel fixé supérieur à 1. Cela entraîne pour lek-ième nombre premierpk

p_k∼klogk et logp_k∼logk lorsquek→ ∞. (3.8) Introduisons l’exponentielle intégrale (cf. [1, p. 228])

E₁(x)= _∞

x

e^−t

t dt, x >0, (3.9)

dont le développement asymptotique est E₁(x)=e^−x

1 x − 1

x²+ 2 x³− 6

x⁴+ · · · , x→ +∞. (3.10)

Considérons d’abord la quantitéP (s)−P_k(s); en utilisant l’intégrale de Stieltjes, (3.6), (3.9), (3.10) et (3.7), il vient pours≥s0>1

P (s)−Pk(s)= ∞ j=k+1

1 p_j^s =

_∞

p⁺_k

d[π(t )] t^s

= _∞

pk

dt t^slogt +

_∞

p⁺_k

d[R(t )] t^s

=E1((s−1)logp_k)−R(p_k⁺) (p⁺_k)^s +

_∞

pk

sR(t ) t^s+1 dt

=E1((s−1)logp_k)+ Oν,s0(1)

p_k^s−1(logk)^ν. (3.11) De même, on a pours≥s0>1

P_k(s)−P(s)= ^∞

j=k+1

logpj

p^s_j = _∞

p⁺_k

d[π(t )]logt t^s

= _∞

p_k

dt t^s +

_∞

p_k⁺

d[R(t )]logt t^s

= 1

(s−1)p^s_k⁻¹+ Oν,s₀(1)

p^s_k⁻¹(logk)^ν−1. (3.12) Par la formule de Taylor, on a

P_k(λ_k)−P_k(λ)=(λ_k−λ)P_k(λ)+(λk−λ)²

2 M (3.13)

avecM=P_k(ξ )etλ_k< ξ < λ. On a donc, pourk≥3 0.182. . .=(log 2)²

2^λ =P₁(λ) < M< P(λ₃)=926.56. . . . (3.14) De (1.10) et (3.2), on déduitPk(λk)−Pk(λ)=P (λ)−Pk(λ)et (3.11) et (3.12) (en prenants=λ) donnent avec (3.13)

(λ_k−λ)

P(λ)+ 1

(λ−1)p_k^λ−1+ Oν(1)

p^λ_k⁻¹(logk)^ν−1+λk−λ

2 M

=E1((λ−1)logp_k)+ Oν(1)

p_k^λ−1(logk)^ν. (3.15)

Lorsquek→ ∞, par (3.3),λk−λ→0 et (3.15), (3.10) et (3.8) entraînent

−(λ−λk)P(λ)∼E1((λ−1)logpk)∼ 1

(λ−1)k^λ−1(logk)^λ,

ce qui prouve (3.5).

Remarque 1 Compte tenu de (3.5), (3.15) donne le résultat plus précis

λ−λk=E₁((λ−1)logp_k)

−P(λ) + Oν(1)

k^λ−1(logk)^λ+ν−1 (3.16) pour toutν >1. En utilisant le développement asymptotique de Cipolla (cf. [7])

p_k∼Li⁻¹(k)=k

L₁+L₂−1+L2−2 L1 +O

L²₂ L²₁

(3.17)

avecL1=logketL2=log logk, on déduit de (3.10) et (3.16)

λ−λ_k= −1

(λ−1)P(λ)k^λ−1(L1)^λ

1−λL2+^λ(2_λ−^−λ)₁

L1 +O

L²₂ L²₁

. (3.18)

En utilisant les inégalités (cf. [30, p. 69], [29] et [7]) :

k(logk+log logk−1)≤p_k≤k(logk+log logk), k≥6, (3.19) on peut obtenir un encadrement effectif deλ−λ_k(cf. [15]).

Proposition 3 Soitk≥1,λ,λ_k,P etP_k définis par (1.10), (3.2), (1.8) et (3.1). On définitaeta_kpar

a= −1

P(λ)=0.5776486. . . et a_k= −1

P_k(λ_k). (3.20) On a

a₁> a₂>· · ·> a_k>· · ·> a, lim

k→∞a_k=a (3.21)

et lorsquek→ ∞

a_k−a∼ 1

(λ−1)(P(λ))²(klogk)^λ−1=0.835378. . .

(klogk)^λ−1. (3.22) Démonstration On a

k= 1 2 3 4 5 10 100 1000 10000

ak= 1.443 1.158 1.003 0.920 0.869 0.759 0.629 0.595 0.584 En remarquant par (3.1) et (3.2) que l’on a

λ_k+1=P_k⁻¹

1− 1 p_k^λ₊^k+₁¹

, (3.23)