A327. Les nombres prospères
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On définit la suite choisissant et . On pose
ensuite et on va vérifier que, pour tout , les entiers consécutifs et sont prospères.
Pas de problème pour ce qui concerne , s’agissant d’un carré; pour ce qui concerne on raisonne par récurrence: vaut 8, qui est bien prospère; et si est prospère aussi prospère est
qui vaut
