A327 Les nombres prospères
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Solution de Guillaume Petijean
On définit la suite u par u(0) = 8 et u(n+1) = (2u(n)+1)^2 - 1 = 4u(n)(u(n)+1)
On montre par récurrence que pour tout naturel n , P(n)" u(n) et u(n)+1" sont prospères.
u(0) = 8 et u(1) = 9 , donc P(0) est vraie
Supposons P(n) vraie pour n entier naturel donné
alors 4,u(n) et u(n) + 1 sont prospères, donc u(n+1) est prospère et u(n+1) + 1 = (2u(n) + 1)^2 est un carré, donc prospère donc u(n+1) et u(n+1) + 1 sont prospères
On a donc construit une infinité de paires de naturels consécutifs prospères
