A327. Les nombres prospères
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Solution proposée par Rodolfo Niborski
Tout d'abord, les carrés sont des nombres prospères et les nombres prospères sont stables par produit.
Si a et a+1 sont deux entiers prospères consécutifs, 4a(a+1) est prospère (produit). Mais ce nombre n'est autre que 4a^2 + 4a et l'entier suivant est le carré de (2a + 1). On a donc trouvé deux nombres prospères consécutifs strictement plus grands que les nombres de départ.
En partant de 8 et 9 et par récurrence, on en construit une infinité.
