A327 Les nombres prospères
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Solution de Maurice Bauval
Un exemple suffira :
L’équation diophantienne 5x2 – y2 = 1 admet une infinité de solutions.
La plus évidente est (x,y) = ( 1,2 ).
La substitution ( 9x+4y, 20x+9y) → (x,y) fournit les solutions suivantes : (17,38) ; (305,682) ; (5473, 12238) ; (98209,219602) ; (1762289,3940598).
x=305 est visiblement multiple de 5 donc 5*3052 .est un nombre prospère.
5*3052 et 6822 sont deux entiers prospères consécutifs : 465125 et 465124.
De même tout couple (x,y) solution de 5x2 – y2 = 1 avec x congru à 0 modulo 5 permet d’exhiber les deux entiers prospères consécutifs 5x2 et y2 .
Pour l’étude des restes mod 5 des couples (x,y) solutions de 5x2 – y2 = 1, la substitution ( 9x+4y, 20x+9y) → (x,y) peut être simplifiée en ( -x-y, -y) → (x,y).
On obtient la suite :
(x,y) ; ( –x-y,-y ) ; (x+2y,y ) ; (-x-3y, -y ) ; ( x+4y, y ) ; (-x,-y) qui est de période 10.
La condition x congru à 0 modulo 5, est vérifiée une fois sur cinq.
On a donc trouvé une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Si on pose F(x,y) = ( 9x+4y, 20x+9y),
on a F5 (x,y) = ( 930249x+416020y , 2080100x+930249y )
Les premiers résultats obtenus par cette méthode sont : 465125 = 53 612
465124 = 22 112 312
1610006506595061125 = 53 172 612 1094412
1610006506595061124 = 22 112 192 312 1812 5412
