Les nombres prospères
Problème A327 de Diophante
Par convention un nombre entier naturel n est appelé « prospère » si tous les exposants de ses facteurs premiers sont supérieurs ou égaux à 2. Démontrer qu’il existe une infinité de paires de nombres entiers consécutifs prospères.
Solution
Très fastoche … quand on a trouvé !
Les nombres 8 et 9 sont des nombres entiers consécutifs prospères.
Par hypothèse de récurrence, supposons p et q (= p+1) entiers consécutifs prospères.
Alors P = 4pq et Q = (p+q)2 sont des nombres entiers consécutifs prospères.
En effet, P est prospère comme produit de nombres prospères et Q est prospère car c’est un carré. De plus, Q - P = (p+q)2 – 4pq = (q-p)2: = 12 = 1
Ainsi (8, 9) ; (288, 289) ; (332928, 332929) ; (443365544448,
443365544449) ; etc. sont des couples de nombres entiers consécutifs prospères Ce ne sont pas les seuls : (675, 676) ; (1825200, 1825201) : (13325427460800, 13325427460801) ; etc. le sont aussi et il est fortement probable qu’il y en aient encore bien d’autres, malgré le peu de liens apparents entre consécutivité et décomposition en facteurs premiers.
