E 546.Tout simplement logique Solution proposée par Michel Lafond
Énigme 1.
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il n’y a pas deux faces ayant le même nombre d’arêtes.
Soit alors F la face du polyèdre dont le nombre d’arêtes disons a est maximal.
F est en contact avec a autres faces dont les nombres d’arêtes par hypothèses sont tous différents et inférieurs à a. C’est manifestement impossible.
Énigme 2.
Soit E = {1, 2, 3, --- 2010}.
Soit Ei l’ensemble des nombres entiers de E de la forme i × 2k pour i impair de 1 à 2009 et k entier quelconque.
Ces 1005 sous-ensembles Ei réalisent une partition de E, donc d’après le lemme des tiroirs, parmi 1006 éléments de E, il y en a nécessairement deux, disons x et y dans le même tiroir Ei.
Donc si par exemple x < y, on a x = i × 2k et y = i × 2k’ avec k < k’ et donc x divise y.
Énigme 3.
On compte 670 pièces (choisies au hasard) qu’on retourne et qui forment le premier tas.
Parmi ces 670 pièces, s’il y avait avant retournement x piles et 670 – x faces, il y aura après retournement x faces et 670 – x piles.
Les 1340 pièces qui n’ont pas été retournées (deuxième tas) contiennent après comme avant 670 – x piles. Les deux tas contiennent bien le même nombre de piles, à savoir 670 – x.
