E546 – Tout simplement logique
1ère énigme : prouver que tout polyèdre convexe à 2010 faces comporte au moins deux faces qui ont le même nombre d’arêtes.
Solution par Patrick Gordon
S'il y avait une face à 2010 arêtes ou plus, elle aurait 2010 voisines donc il y aurait plus de 2010 faces.
Il n'y a donc au plus que 2009 valeurs possibles du nombre d'arêtes (en fait 2007, car une face ne peut pas avoir 1 ni 2 arêtes). Et, comme il y a 2010 faces, il y en a au moins deux qui ont le même nombre d’arêtes (théorème "du pigeonnier").
À noter que la propriété reste vraie si l'on remplace 2010 par n'importe quel n > 3 et que, par conséquent, tout polyèdre a au moins deux faces qui ont le même nombre d’arêtes.
2ème énigme : prouver que si 1006 entiers sont choisis parmi les entiers de 1 à 2010, l’un d’eux est divisible par un autre.
Pour qu'un entier P divise un entier Q, il faut et il suffit que tout facteur premier de P figure aussi dans Q à une puissance au moins égale. En particulier, tout nombre P impair divise tout nombre pair Q de la forme 2k P.
Application :
On place dans une même classe tous les multiples pairs de chaque nombre impair. Ils seront tous classés (y compris les puissances de 2, qui seront dans la "classe 1") et on aura défini autant de classes qu'il y a de nombres impairs parmi les entiers de 1 à 2010, soit 1005.
Par construction, quels que soient deux nombres d'une même classe, il y en a un qui divise l'autre. Or, si l'on en prend 1006, alors qu'il n'y a que 1005 classes, il y en a nécessairement au moins deux dans la même classe (encore le théorème "du pigeonnier"). CQFD
3ème énigme : les yeux bandés et les mains gantées, comment partager 2010 pièces de monnaie posées sur un table dont 670 côté pile et 1340 côté face en deux tas de manière à obtenir le même nombre de pièces côté pile dans chacun des deux tas.
Si les gants sont des gants de chirurgien (ce que l'énoncé n'écarte pas), la sensibilité tactile n'est pas amoindrie et on reconnaît les pièces au toucher (facile si ce sont toutes des pièces de 50 centimes par exemple, moins s'il y a un assortiment de pièces de tous pays – mais, là encore, l'énoncé ne précise pas). Si les gants sont des moufles, on prend les pièces en main et on les… lèche! J'ai essayé : ça marche.
