E546 : Tout simplement logique
1ère énigme : prouver que tout polyèdre convexe à 2010 faces comporte au moins deux faces qui ont le même nombre d’arêtes.
2ème énigme : prouver que si 1006 entiers sont choisis parmi les entiers de 1 à 2010, l’un d’eux est divisible par un autre.
3ème énigme : les yeux bandés et les mains gantés,comment partager 2010 pièces de monnaie posées sur un table dont 670 côté pile et 1340 côté face en deux tas de manière à obtenir le même nombre de pièces côté pile dans chacun des deux tas
1ère énigme : soit plus généralement un polyèdre à f faces, a arêtes et s sommets, ces nombres étant liés par la relation d’Euler f+s=a+2. Chaque arête joint deux sommets et de chaque sommet partent au moins trois arêtes, donc s≤2a/3, ce qui donne f-2≥a/3. Enfin, chaque arête appartient à deux faces, donc la somme des nombres d’arêtes par face est égale à 2a. Si le nombre d’arêtes est différent pour chaque face, leur somme est au moins égale à 3+4+...+(f+2) donc 2a≥(f+2)(f+3)/2-3.
On aurait alors 6(f-2)≥(f+2)(f+3)/2-3, soit f2-7f+24≤0; or ce trinôme est toujours positif, puisque son discriminant est négatif (-47). On en déduit que tout polyèdre convexe comporte au moins deux faces ayant le même nombre d’arêtes.
2 ème énigme : plus généralement, montrons qu’il est impossible de choisir n+1 nombres, parmi les entiers de 1 à 2n, sans que l’un n’en divise un autre: 1, qui divise tout nombre, ne peut évidemment en faire partie; de même 2 ne peut en être, car les n autres nombres doivent être impairs, et il n’y en a que n-1 possibles puisque 1 est exclu. A partir d’un ensemble où aucun élément n’en divise un autre, ne contenant pas 2, on obtient un autre ensemble convenable en remplaçant tout nombre k inférieur ou égal à n par 2k, jusqu’à ne plus avoir que des éléments supérieurs à n : or ceux-ci sont au nombre de n, donc il est impossible qu’un tel ensemble ait n+1 éléments.
3ème énigme : si l’on partage le lot en deux tas de m et 2010-m pièces, le premier contient a pièces coté pile, et m-a coté face, le second 670-a coté pile et 1340-m+a coté face : si m=1340 le second tas contient a pièces coté face, et il suffit alors de retourner toutes les pièces du second tas.
