Problème A550 – Solution de Jean Drabbe
QUESTION (A) - 32 et 64 conviennent. Nous allons montrer que ce sont les seules.
Il est clair que le résultat est vrai pour les puissances de 2 inférieures à 1000, ce qui nous épargnera l'examen de différents cas dans la solution proposée.
Le tableau suivant montre que pour 2 ≤ n ≤ 21 , les valeurs de
2^n modulo 100 sont deux à deux distinctes et que 20 est la plus petite valeur de m telle que 2^m ≡ 76 mod 100 .
Valeurs de 2^n modulo 100 pour 2 ≤ n ≤ 21 ---
2^ 2 ≡ 04 2^ 3 ≡ 08 2^ 4 ≡ 16 2^ 5 ≡ 32
2^ 6 ≡ 64 2^ 7 ≡ 28 2^ 8 ≡ 56 2^ 9 ≡ 12 2^10 ≡ 24 2^11 ≡ 48 2^12 ≡ 96 2^13 ≡ 92 2^14 ≡ 84 2^15 ≡ 68 2^16 ≡ 36 2^17 ≡ 72 2^18 ≡ 44 2^19 ≡ 88 2^20 ≡ 76 2^21 ≡ 52
Propriété – Pour tout j ≤ 24 , 76 • 4 • j ≡ 4 • j mod 100 .
Corollaire - Pour tout j , 2^j ≡ 76 mod 100 si et seulement si 20 divise j .
Nous disposons maintenant de tous les ingrédients nécessaires pour présenter une démonstration.
Supposons que 2^n devienne 2^m après suppression du premier chiffre de gauche. Il existe alors a avec 0 < a < 10 tel que
a • 10^k = 2^n – 2^m = (2^(n-m) – 1) • 2^m .
Nous nous intéressons aux situations dans lesquelles 2^n > 1000 . Par conséquent, 2^(n-m) – 1 doit être divisible par 25 , ce qui ne peut se présenter que lorsque 2^(n-m) ≡ 76 mod 100 .
Comme 2^20 – 1 est divisible par 11 , nous arrivons à la contradiction
« 11 divise 10 » !
QUESTION (B) - Montrons qu'après suppression du dernier chiffre de droite, toute puissance de 2 supérieure à 10 devient un nombre impair ou un multiple de 3 .
Il suffit d'établir que :
Toute puissance de 2 supérieure à 10 peut s'écrire (de manière nécessairement unique) sous la forme
k • 10 + 2 • m avec 1 ≤ m ≤ 4 et k impair lorsque m = 1 , 3 3 divise k lorsque m = 2 , 4 . Ceci est vrai pour 16 , 32 , 64 , 128 et est préservé lors d'une
multiplication par 16 car
( k • 10 + 2 • m) • 16 = (k • 16 + 3 • m) • 10 + 2 • m .
QUESTION (C) - Par réarrangement de ses chiffres, une puissance de 2 ne reste jamais une puissance de 2 . Ceci résulte de l'équivalence :
2^i ≡ 2^j mod 9 si et seulement si i ≡ j mod 6
(qui traduit le fait que 2 est un générateur du groupe multiplicatif – d'ordre 6 – des inversibles modulo 9).
et de la propriété triviale :
si les longueurs (nombres de chiffres décimaux) de 2^i et 2^j sont égales, i – j ≤ 4 .
