3n 2 − 1 pour tout entier n ≥ 1.

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EXERCICE 1 (5 points)

Soit la suite (u n ) définie par u _n = 2n + 1

3n ² − 1 pour tout entier n ≥ 1.

1. Quelle est la fonction f associée à la suite (u n ) n ∈N ? Étudier les variations de f sur [1; +∞[.

On rappelle que si f = u

v sur I et f est dérivable sur I alors f

= u

v − uv

v

2. En déduire un majorant de (u n ) et préciser les variations de la suite (u n ).

3. Déterminer la limite de la suite (u n ) n∈ N .

• • •

EXERCICE 2 (4 points)

Soit (u n ) la suite définie par :

u ₀ = 3 et, pour tout entier n > 0, u _n+1 = 2u n − 1 1. Montrer, par récurrence que, pour tout n > 0,

u _n = 2 ⁿ⁺¹ + 1 . 2. En déduire la limite de (u n ).

3. On considère l’algorithme suivant : n ←− 0

u ←− 3

Tantque u 6 10000 faire u ←− 2 ∗ u − 1 n ←− n + 1 Fin Tant que Afficher(n)

Quelle valeur de n renvoie cet algorithme ?

Si on remplace 10000 par n’importe quel nombre, cet algorithme affichera-t-il toujours une valeur de n ? Expliquer.

• • •

EXERCICE 3 (6 points)

On considère la suite (u n ) définie par u ₀ = 1 et, pour tout n de N , u _n+1 = 1

3 u _n + 4.

On pose, pour tout entier naturel n, v _n = u _n − 6 1. Calculer u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2. Sur le graphique donné en Annexe , construire en laissant visibles les traits de construction, les quatre premiers termes de la suite (u n ) sur l’axe des abscisses.

3. Montrer que la suite (v n ) est géométrique.

4. Montrer que, pour tout n ∈ N , u _n = −5 1 3

n

+ 6.

5. Étudier la convergence de la suite (u n ).

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6. On pose, pour tout n de N , T _n = u ₀ + u ₁ + . . . + u _n . On donne v ₀ + v ₁ + . . . + v _n = − 5

2

3 − 1

3 n

.

Exprimer T n en fonction de n et calculer la limite de T n lorsque n tend vers +∞.

• • •

EXERCICE 4 (3 points)

On considère la suite (u n ) définie par :







u ₀ = 3 et, pour tout entier naturel n, u _n+1 = n + 2

n + 1

u _n − 1 n + 1 . 1. Calculer les trois termes de la suite u ₁ , u ₂ et u ₃ . 2. Conjecturer la nature de la suite (u n ) n∈N .

3. Marcel, fin mathématicien, propose une forme explicite pour la suite (u n ) : pour tout n de N , u _n = 3 + 2n. Marcel a-t-il raison ?

Aide : pour information, 2n

+ 7n + 5 se factorise en (n + 1)(2n + 5).

• • •

EXERCICE 5 (2 points)

1. On considère la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n par u _n = −3n ² + 8n − 6 n + 1 . Déterminer deux entiers naturels a et b non nuls tels que :

Pour tout n appartenant à N , u n = an + b + c n + 1

2. En utilisant les opérations sur les limites, prouver que (u n ) diverge et déterminer sa limite.

3. QUESTION BONUS : (2 points)

On considère l’intervalle I =] − ∞; −100].

(a) Justifier qu’il existe un entier naturel n ₁ « à partir duquel » tous les termes u n sont dans I (c’est à dire n > n ₁ implique u _n 6 −100).

(b) Déterminer n ₁ à la calculatrice.

(c) Retrouver n ₁ par le calcul.

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Annexe pour l’exercice 3

x y

1

y = ^{1 3} x + 4

1 O

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