E546. Tout simplement logique
1ère énigme
Généralisation à tout polyèdre (sans hypothèse de convexité). Considérons une face ayant un nombre maximum n d’arêtes. Les n faces voisines ont donc au plusnarêtes. D’après le principe des tiroirs, deux faces auront le même nombre d’arêtes.
2ème énigme
Généralisons avecn+ 1 entiers choisis parmiE={1, . . . ,2n}.Tout élément de E s’écrit de manière unique sous la forme 2ai aveca>0 (valuation 2-adique) et i= 2b−1 (partie impaire) où 1 6b 6n. D’après le principe des tiroirs, il existe deux entiersp= 2cietq= 2ditels quec < d, d’oùq= 2d−cp.
3ème énigme
Généralisons avecppièces côté pile. Prélevonsppièces que nous retournons, de sorte que le nouveau tas contient 06q6ppièces côté pile. Dans le premier tas il reste alors égalementp−(p−q) =qpièces côté pile.
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