E546. Tout simplement logique Solution proposée par Yannick Huet
1ère énigme : prouver que tout polyèdre convexe à 2010 faces comporte au moins deux faces qui ont le même nombre d’arêtes.
Le polyèdre est convexe donc tous segments reliant deux de ses sommets est intérieur à la figure.
Le plus petit polyèdre est le tétraèdre, il possède 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes.
Pour la résolution de l’énigme, considérons la face, du polyèdre, qui a le plus d’arêtes (disons n<=2009 arêtes). On a donc un nombre m(<=n) de faces, différentes, qui ont une arête commune avec cette face. Le polyèdre a 2010 faces.
Si on classe ces différentes faces par nombre d’arête, il y aura forcément deux faces qui auront le même de face.
2ème énigme : prouver que si 1006 entiers sont choisis parmi les entiers de 1 à 2010, l’un d’eux est divisible par un autre.
Pour généraliser l’énigme, on peut montrer que si n+1 entiers sont choisis parmi les entiers de 1 à 2n, l’un d’eux est divisible par un autre.
Tous les nombres x de l’ensemble 1 à 2n peuvent être factorisés sous la forme x=(2^k)(2a+1).
Si k>1, on a tous les nombres pairs et pour k=0 on a les n nombres impairs distincts tous distincts entr eeux. Lors de la factorisation des 2n entiers on fait donc apparaître 2n facteurs impairs dont n sont distincts entre eux.
Comme l'on considère n + 1 nombres, le principe des tiroirs permet d'en trouver deux, x et y, tel que x = (2^k)(2a + 1) et y = (2^l)(2a + 1) avec k différent de l. Il est clair que le nombre qui a comme facteur la plus petite puissance de 2 divise l'autre.
Donc si 1006 entiers sont choisis parmi les entiers de 1 à 2010, l’un d’eux est divisible par un autre.
3ème énigme : les yeux bandés et les mains gantés, comment partager 2010 pièces de monnaie posées sur un table dont 670 côté pile et 1340 côté face, en deux tas de manière à obtenir le même nombre de pièces côté pile dans chacun des deux tas.
Prenons un exemple, soit 10 pièces dont 3 ayant côté face (F) et pile (P) pour les restantes.
Cela peut être formalisé de cette manière : FFFPPPPPPP Si je prends FFP et que j’inverse ce triplet on a PPF.
Le second tas contient FPPPPPPP
Donc les deux tas ont le même nombre de Pile.
Pour résoudre l’énigme, il suffit donc de prendre 670 pièces du tas de 2010 et d’inverser chacune. Les deux tas auront donc le même nombre de pièces avec le côté Pile.
CQFD
