Enoncé D319 (Diophante) Corps flottant
Un polyèdre convexe flotte à la surface de l’eau. Est-il possible que 90% de son volume se trouve en dessous du niveau de l’eau tandis que plus de la moitié de sa surface est à l’air libre ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin La réponse est positive.
Mon polyèdre est une pyramide ayant pour base un polygone ré- gulier, avec un angleµentre les faces latérales et le plan de la base.
SiLest la surface latérale de cette pyramide, la surface totale est L+Lcosµ.
Je plonge dans l’eau la pyramide, sommet en bas et base maintenue horizontale, jusqu’à ce que 90% de son volume se trouve en dessous du niveau de l’eau ; la pyramide est dans l’eau sur (0,9)1/3 de sa hauteur, et la surface dans l’eau est L(0,9)2/3.
La condition de l’énoncé est satisfaite quand L(0,9)2/3 <(L+Lcosµ)/2, soit
cosµ >2(0,9)2/3−1 = 0,864339504 etµ <30◦1103300.
Plus généralement, cette configuration permet d’avoir la fraction v du volume sous le niveau de l’eau et la fraction s de la surface au-dessus de ce niveau si v2/3 < (1−s)(1 + cosµ) ; il existe un angleµ qui y satisfait si v2 <(2−2s)3.
Avecs= 1/2,v peut être pris arbitrairement proche de 100%.
Avecv= 90%,speut approcher 1−(0,9)2/3/2 = 0,533915. . .Par exemples= 53% avec µ= 10◦280.
