Enoncé D1990 (Diophante) Un zeste de calcul
Soit un triangle ABC dont les côtés BC, CA et AB ont pour longueurs a, b, c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R.
Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a, b, c.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Observons queRP etRQfont des angles égaux A/2 avec (L). Le triangle RP Q est isocèle, et avec son symétrique SP Q forme un losange P RQS.
AinsiP S est parallèle à AC et QS parallèle àAB.
Supposons par exempleb > c.
P Q=AQ−AP = bcos(A/2)−ccos(A/2) = (P S+SQ) cos(A/2), d’où le côté du losange est (b−c)/2. D’autre part BP = csin(A/2), CQ = bsin(A/2).
Dans le triangleBP S, (P A, P S) = (π+A)/2 et Al Kashi donne BS2=c2sin2(A/2) + (b−c)2/4 + (b−c)csin2(A/2) =
= (b2+c2−2bccosA)/4 =a2/4.
De même dans le triangleCQS, (QC, QS) = (π−A)/2, CS2 =b2sin2(A/2) + (b−c)2/4−(b−c)csin2(A/2) =
= (b2+c2−2bccosA)/4 =a2/4.
Ainsi BS+CS = a/2 +a/2 = BC, le triangle SBC est plat et S est le milieu de BC.
On peut donc recourir à la formule de la médiane, mais le résultat peut s’obtenir directement par Al Kashi dans le triangleAP S :
AS2 =c2cos2(A/2) + (b−c)2/4 + (b−c)ccos2(A/2) =
= (b2+c2+ 2bccosA)/4 = (b2+c2)/2−a2/4.