Enoncé D1990 (Diophante) Un zeste de calcul Soit un triangle

Enoncé D1990 (Diophante) Un zeste de calcul

Soit un triangle ABC dont les côtés BC, CA et AB ont pour longueurs a, b, c. Les points P et Q sont les projections orthogonales de B et de C sur la bissectrice intérieure (L) de l’angle en A. La parallèle au côté AB passant par P coupe la parallèle au côté AC passant par Q au point R.

Soit S le point symétrique de R par rapport à (L). Calculer la longueur du segment AS en fonction de a, b, c.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Observons queRP etRQfont des angles égaux A/2 avec (L). Le triangle RP Q est isocèle, et avec son symétrique SP Q forme un losange P RQS.

AinsiP S est parallèle à AC et QS parallèle àAB.

Supposons par exempleb > c.

P Q=AQ−AP = bcos(A/2)−ccos(A/2) = (P S+SQ) cos(A/2), d’où le côté du losange est (b−c)/2. D’autre part BP = csin(A/2), CQ = bsin(A/2).

Dans le triangleBP S, (P A, P S) = (π+A)/2 et Al Kashi donne BS²=c²sin²(A/2) + (b−c)²/4 + (b−c)csin²(A/2) =

= (b²+c²−2bccosA)/4 =a²/4.

De même dans le triangleCQS, (QC, QS) = (π−A)/2, CS² =b²sin²(A/2) + (b−c)²/4−(b−c)csin²(A/2) =

= (b²+c²−2bccosA)/4 =a²/4.

Ainsi BS+CS = a/2 +a/2 = BC, le triangle SBC est plat et S est le milieu de BC.

On peut donc recourir à la formule de la médiane, mais le résultat peut s’obtenir directement par Al Kashi dans le triangleAP S :

AS² =c²cos²(A/2) + (b−c)²/4 + (b−c)ccos²(A/2) =

= (b²+c²+ 2bccosA)/4 = (b²+c²)/2−a²/4.