• Aucun résultat trouvé

D351- Douze arêtes pour un polyèdre [*** à la main]

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "D351- Douze arêtes pour un polyèdre [*** à la main]"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

D351- Douze arêtes pour un polyèdre [*** à la main]

Existe-t-il un polyèdre pas nécessairement convexe dont on connaît la liste complète des douze arêtes: AB,AC,BC,BD,CD,DE,EF,EG,FG,FH,GH,AH sachant que cinq d'entre elles sont de longueur 5 et les sept autres de longueur 2?

Solution proposée par Bernard Vignes

L'examen des extrémités des douze arêtes fait apparaître quatre faces triangulaires:

AB,AC,BC ==> ABC,

BC,BC,CD ==> BCD ==> les faces ABC et BCD partagent la même arête BC EF,EG,FG ==> EFG

FG,FH,GH ==> FGH ==> les faces EFG et FGH partagent la même arête FG

Au total dix arêtes sur douze viennent d'être recensées. Il ne reste plus que les deux arêtes DE et AH qui servent à relier la structure (A,B,C,D) à la structure (E,F,G,H) .

Comme les allumettes ont pour seules longueurs 5 et 2, il y a seulement deux configurations possibles :

1) les triangles ABC,BCD,EFG et FGH sont tous équilatéraux, avec les côtés des deux premiers de longueur 5 et les côtés des deux derniers de longueur 2. Bien entendu on peut intervertir les dimensions 5 des triangles ABC-BCD avec les dimensions 2 des triangles EFG-FGH.

Il reste à construire les faces hexagonales ABDEFHA et ACDEGHA en vérifiant que que les sommets A,B,D,E,F,H sont bien dans un même plan et qu'il en est de même pour les sommets A,C,D,E,G,H pour respecter le nombre total d'arêtes égal à 12.

2) les triangles ABC et BCD sont isocèles avec une base commune BC de longueur 2 et deux côtés égaux de longueur 5.Les triangles EFG et FGH sont alors nécessairement équilatéraux avec des côtés de longueur 2.Les deux dernières arêtes AH et DE ont alors respectivement pour longueurs 5 et 2 (ou vice-versa).

Cette configuration ne convient pas car les deux tétraèdres ABCD et EFGH ne sont plus

homothétiques l'un de l'autre. Les points F et G ne sont plus contenus dans les plans ABD et ACD.

et on a deux arêtes supplémentaires BF et CG en contradiction avec l'énoncé.

La solution du 1) est donc bien unique.

On obtient la figure ci-contre dans laquelle les points A,B,C,D sont les sommets d'un tétraèdre dont les deux facesABC et BCD sont équilatérales de côté = 5 et les points E,F,G,H sont les sommets d'un deuxième

tétraèdre dont les deux facesEFG et FGH sont aussi équilatèrales de côté = 2. Soit le point I le milieu de l'arête AD. Pour que F soit dans le plan ABD et le point G dans le plan ACD , il faut que les deux tétraèdres ABCD et HFEG soient homothétiques l'un de l'autre dans une homothétie de centre I et de rapport

HF/AB=2/5.

Il en résulte IH = 4/3, HE = 8/3 et AD = 20/3.

Références

Documents relatifs

[r]

D'après le théorème : si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux deux à deux, alors ces deux triangles sont isométriques.. Donc les triangles ABC

Utilise deux couleurs différentes : l’une pour les côtés, l'autre pour les diagonales. Sylvain BOURDALÉ 

Dans un triangle rectangle, on connait les longueurs de deux côtés de l’angle droit et on veut calculer la longueur de l’hypoténuse.. On écrit la propriété

R2 Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux et de même longueur et ses quatre angles sont droits.. R3 Si un quadrilatère a

(N’oublie pas que l’on écrit les lettres des angles dans le sens des aiguilles d’une montre.).. Il existe quatre types de

Faire travailler le plus grand nombre possi- bles d'heures afin d'accroître le nombre des sans- travail, d'avoir sans cesse une réserve sous la main et de pouvoir opposer à

Parmi les triangles rectangles à côtés mesurés par des entiers, on constate qu’il y en a exactement 600 ayant un côté de longueur n. Le nombre des décompositions de p k avec x et