E546. Tout simplement logique
Louis ROGLIANO
1ère énigme : prouver que tout polyèdre convexe à 2010 faces comporte au moins deux faces qui ont le même nombre d’arêtes.
2ème énigme : prouver que si 1006 entiers sont choisis parmi les entiers de 1 à 2010,l’un d’eux est divisible par un autre.
3ème énigme : les yeux bandés et les mains gantés,comment partager 2010 pièces de monnaie posées sur un table dont 670 côté pile et 1340 côté face en deux tas de manière à obtenir le même nombre de pièces côté pile dans chacun des deux tas.
Excellente mise en bouche et, comme disait toujours mon prof de math :” Il faut lire attentivement l’énoncé !”.
Première énigme:
Une face a au moins trois arêtes. Si toutes les faces ont un nombre d’arêtes différent, l’une d’elles a au moins2013arêtes et elle est adjacente à2013faces; ce qui est impossible.
Deuxième énigme:
La décomposition d’un nombre en facteurs premiers montre que l’on peut toujours écrire un nombre quelconque des1006choisis sous la formen = 2a×(2p+ 1),apouvant être nul et1≤ 2p+ 1<2010. Il y a donc1005facteurs impairs différents pour les1006nombres choisis. Deux de ces facteurs au moins sont égaux et les nombres correspondants sont:
n1 = 2a1 ×(2p+ 1)etn2 = 2a2 ×(2p+ 1). Il est clair que l’un d’eux divise l’autre.
Troisième énigme:
Il suffit de faire670fois la manœuvre suivante:
”Prendre une pièce du tas, la retourner et la poser plus loin”.
En effet: La constitution du deuxième tas laisse dans le tas d’origine1340pièces;nd’entre elles sont côté pile et1340−ncôté face. Dans le deuxième tas, avant retournement,670−nsont côté pile etncôté face.
Le retournement donne670−ncôté face etncôté pile.
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