G 222. Tirer des plans sur un cube Solution proposée par Michel Lafond
Appelons arêtes chacun des 24 segments tels que [AB].
Il y a C123
= 220 ensembles de 3 points donc 220 plans candidats.
Mais un plan comme ABFKLH contient 6 points et C63 = 20. Donc ce plan est compté 20 fois.
Il y a 24 / 6 = 4 tels plans. Il faut retrancher 4 19 = 76.
Il y a 9 plans parallèles aux faces et contenant 4 points.
C43 = 4, donc ces plans sont comptés 4 fois, il faut retrancher 9 3 = 27.
Enfin, il y a 24 / 2 = 12 plans comme ABIJ contenant 4 points. Il faut encore retrancher 12 3 = 36.
Finalement, il y a 220 – 76 – 27 – 36 = 81 plans distincts.
E
A
B C D
F G
H
I
J K L