G222 : Tirer des plans sur un cube.
Énoncé : Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d'un cube ?
On sait tout d'abord que l'on peut trouver
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plans (non distincts) passant par trois milieux d'arêtes du cube, soit 220 plans.On commence alors à compter, en classant par type : – Plans passant par trois milieux :
1 plan par sommet, soit 8 plans distincts.
2 plans par arête, soit 24 plans distincts.
2 plans par arête, soit 24 plans distincts.
– Plans passant par quatre milieux :
1 plan par face, soit 6 plans distincts.
1 plan par paire de faces, soit 3 plans distincts.
4 plans par paire de face, soit 12 plans distincts.
– Plans passant par six milieux :
4 plans distincts.
On note alors que chaque plans passant par trois milieux a été compté 3
3 fois, chaque plans passant par quatre milieux 4
3 fois et chaque plans passant par six milieux 6
3 fois.
On a donc compté 56×3
321×4
34×6
3 , soit 220 fois, ce qui assure qu'on a compté tous les plans.
Il ne reste alors plus qu'à sommer les nombres de plans distincts trouvés : il y a donc, en tout, 81 plans distincts passant par trois milieux d'arêtes d'un cube.
