D374 – Sortie dans l’espace [** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
Est-il possible de choisir 24 points dans l’espace – jamais trois points n’étant alignés – et de choisir 2021 plans de sorte que chaque plan passe par au moins trois des 24 points, et que chaque trio parmi les 24 points appartienne à au moins un des plans choisis ?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Il faut choisir les points les uns après les autres de telle sorte que chaque nouveau point n'appartient pas à un des n plans contenant un des triplets de points précédemment construits .
1) On a un plan avec les 3 premiers points , puis 1 + 3 plans supplémentaires avec le quatrième point . 2) Avec le cinquième point , on peut construire 6 nouveaux plans ; soit 10 plans avec 5 points ... 20 plans avec 6 points ...
Finalement avec le 24 ième point , C 324 = 2024 plans distincts sont constructibles .
Mais si le 24 ième point appartient à un seul des 1771 plans formés par les 23 premiers points , on obtient dans ce cas 2021 plans puisque le tétraèdre formé par ces 4 points est plat ; de 4 plans formés par un tétraèdre volumique on passe à un plan avec le tétraèdre écrasé . Soit 3 plans de moins .
