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Déterminer les plans tangents àS passant par le point(1,1,0

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Academic year: 2022

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PSI* — 2020/2021 — Préparation aux oraux — Analyse no 35 Page 1

35. (CCP) Soit S / x3+y3= 1. Déterminer les plans tangents àS passant par le point(1,1,0).

. . . . Solution

La surface S est définie par l’équation cartésiennef(x, y, z) = 0, où f : (x, y, z) →x3+y3−1 est de classe C1 sur R3.

Le gradient de f : (x, y, z) → 3x2,3y2,0 ne s’annule en aucun point de S, dont les points sont par conséquent tous réguliers.

Le plan tangent àS en M(a, b, c) admet pour équation cartésienne

3a2(x−a) + 3b2(y−b) = 0 soit a2x+b2y= 1 car a3+b3 = 1.

Ce plan passe par le point (1,1,0)si et seulement si a2+b2= 1.

Analyse : supposons que le plan tangent à S en M(a, b, c) passe par (1,1,0) ; alors a2 +b2 = 1 et a3+b3 = 1 puisqueM ∈ S. Alors

1 =a3+b3 = (a+b) a2−ab+b2 =s(1−p) (1) où j’ai notés=a+betp=ab(attendu cara etbjouent des rôles symétriques. . . ).

Par ailleurs,

1 =a2+b2 =s2−2p. (2)

De (1)je tire sp=s−1 d’où, en multipliant(2)par s

s=s3−2 (s−1) soit s3−3s+ 2 = 0, c’est-à-dire (s−1)2(s+ 2) = 0.

•soits= 1et p= 0: alors(a, b)∈ (1,0),(0,1) (système de racines de X2−X)

•soits=−2etp= 3

2 : alors(a, b) devrait être un système de racines deX2+ 2X+3

2, qui n’admet aucune racine réelle.

Synthèse : les points (1,0, c) et (0,1, c) conviennent pour tout c de R (d’après le calcul préliminaire ci-dessus) et ce sont les seuls d’après l’analyse. Or il se trouve que les plans tangents en ces points ne dépendent pas de c:

Les plans tangents à S passant par le point (1,1,0)sont les deux plans d’équationsx= 1ety = 1.

Remarque: le lecteur averti aura remarqué queS est un cylindre à génératrices parallèles àOz(puisque son équation ne comporte pas la coordonnée z).

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