Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 n + 1 de :

PanaMaths Février 2002

Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 n + 1 de :

( )

( ) argsinh

f x = x

Analyse

On va ici utiliser le fait que l’on peut travailler plus simplement sur la dérivée de la fonction.

Résolution

On a : ^{'( ) 1} ₂

(

^{1 2}

)

¹²

1

f x x

x

= = + −

+ .

On va donc pouvoir utiliser le développement limité « standard » :

(

^1+x

)

^{m = +1 mx+m m}

(

₂⁻¹

)

^{x2+ +... m m}

(

⁻¹

)(

^m−_k^{2 ...}_!

) (

^{m k− +1}

)

^{xk +o x}

( )

^k

avec 1

m= −2.

A quel ordre doit-on effectuer ce développement limité ?

Puisque nous allons déterminer le développement limité de la composée des deux fonctions x6x2 et ^x6

(

^1+x

)

⁻¹², le développement limité obtenu ne comportera que des puissances paires de x. En l’intégrant, et en tenant compte du fait que arg sinh(0)=0, le développement limité finalement obtenu ne comportera que des puissances impaires de x. Pour obtenir un développement limité à l’ordre 2n+1, celui de la dérivée doit être mené à l’ordre 2n. On doit partir du développement limité de

(

^1+x

)

⁻¹² à l’ordre n.

On a donc pour n>0 :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

2

termes

2 3

1 1 1 1 1 1

1 1 2 ... 1

1 2 2 2 2 2 2

1 1 ...

2 2 !

1 3 5 ... 2 1

3 5

1 ... 1

2 8 16 2 !

n n

n

n n n

n

n

x x x x o x

n x x x n

x o x n

−

⎛− ⎞⎛− − ⎞ ⎛− ⎞⎛− − ⎞⎛− − ⎞ ⎛− − + ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ = − + + + +

× × × × −

= − + − + + − +

PanaMaths Février 2002

En remplaçant x par x² (composition des fonctions), il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3

2 2 2

1

2 2 2 2

2 4 6

2 2

2 4 6

2 2

3 5 1 3 5 ... 2 1

1 1 ... 1

2 8 16 2 !

1 3 5 ... 2 1

3 5

1 ... 1

2 8 16 2 !

1 3 5 ... 2 1

3 5

1 ... 1

2 8 16 2 !

n n

n

n

n n n

n

n n n

n

x x x n

x x o x

n x x x n

x o x n

x x x n

x o x n

− × × × × −

+ = − + − + + − + −

× × × × −

= − + − + + − +

× × × × −

= − + − + + − +

On peut simplifier cette écriture en notant que :

( ) ( )( )( )

( ( ) )

( )

termes

1 2 3 ... 2 2 2 1 2

1 3 5 ... 2 1

2 4 6 ... 2 2 !

2 1 2 3 ...

2 ! 2 !

n

n

n

n n n

n n

n n n

n

× × × × − −

× × × × − =

× × × ×

= × × × ×

=

On a alors :

( ) ^{( ) ( )} ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2 4 6

2 2 2 2

2 4 6

2 2

2 2

2 !

3 5 1

1 1 ... 1

2 8 16 2 ! 2 !

2 !

3 5

1 ... 1

2 8 16 2 !

n n n

n n

n n n

n

x x x n

x x o x

n n

x x x n

x o x n

+ − = − + − + + − +

= − + − + + − +

En intégrant et en tenant compte de arg sinh(0)=0, il vient finalement :

( ) ( )

( ) ( )

3 5 7 2 1

2 1 2 2

2 !

3 5

arg sinh ... 1

6 40 112 2 ! 2 1

n n n

n

x x x n x

x x o x

n n

+ +

= − + − + + − +

+

Résultat final

Le développement limité en 0 à l’ordre 2n+1 de ^{f x( )=arg sinh}

( )

^x s’écrit :

( ) ( )

( ) ( )

3 5 7 2 1

2 1 2 2

2 !

3 5

arg sinh ... 1

6 40 112 2 ! 2 1

n n n

n

x x x n x

x x o x

n n

+ +

= − + − + + − +

+