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Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 n + 1 de :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Janvier 2002

Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 n + 1 de :

( )

( ) arcsin

f x = x

Analyse

On va ici utiliser le fait que l’on peut travailler plus simplement sur la dérivée de la fonction.

Résolution

On a : '( ) 1 2

(

1 2

)

12

1

f x x

x

= = −

− .

On va donc pouvoir utiliser le développement limité « standard » :

(

1+x

)

m = +1 mx+m m

(

21

)

x2+ +... m m

(

1

)(

mk2 ...!

) (

m k− +1

)

xk+o

( )

xk

avec 1

m= −2.

A quel ordre doit-on effectuer ce développement limité ?

Puisque nous allons déterminer le développement limité de la composée des deux fonctions x6−x2 et x6

(

1+x

)

12, le développement limité obtenu ne comportera que des puissances paires de x. En l’intégrant, et en tenant compte du fait que arcsin(0)=0, le développement limité finalement obtenu ne comportera que des puissances impaires de x. Pour obtenir un développement limité à l’ordre 2n+1, celui de la dérivée doit être mené à l’ordre 2n. On doit partir du développement limité de

(

1+x

)

12 à l’ordre n.

On a donc pour n>0 :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 2

termes

2 3

1 1 1 1 1 1

1 1 2 ... 1

1 2 2 2 2 2 2

1 1 ... o

2 2 !

1 3 5 ... 2 1

3 5

1 ... 1 o

2 8 16 2 !

n n

n

n n n

n

n

x x x x x

n x x x n

x x

n

⎛− ⎞⎛− − ⎞ ⎛− ⎞⎛− − ⎞⎛− − ⎞ ⎛− − + ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ = − + + + +

× × × × −

= − + − + + − +

(2)

PanaMaths Janvier 2002

En remplaçant x par −x2 (composition des fonctions), il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3

2 2 2

1

2 2

2

2 4

2 2

2 4

2 2

3 5 1 3 5 ... 2 1

1 1 ... 1 o

2 8 16 2 !

1 3 5 ... 2 1

1 3 ... 1 1 o

2 8 2 !

1 3 5 ... 2 1

1 3 ... o

2 8 2 !

n n

n

n

n n n n

n

n n

n

x x x n

x x x

n x x n

x x

n x x n

x x

n

− − − × × × × −

+ = − + − + + − − + −

× × × × −

= + + + + − − +

× × × × −

= + + + + +

On peut simplifier cette écriture en notant que :

( ) ( )( )( )

( ( ) )

( )

termes

1 2 3 ... 2 2 2 1 2

1 3 5 ... 2 1

2 4 6 ... 2 2 !

2 1 2 3 ...

2 ! 2 !

n

n

n

n n n

n n

n n n

n

× × × × − −

× × × × − =

× × × ×

= × × × ×

=

On a alors :

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 4

1 2 2

2

2 4

2 2

2 2

2 !

3 1

1 1 ... o

2 8 2 ! 2 !

2 !

1 3 ... o

2 8 2 !

n n

n n

n n

n

x x n

x x x

n n

x x n

x x

n

+ = + + + + +

= + + + + +

En intégrant et en tenant compte de arcsin(0)=0, il vient finalement :

( )

( ) ( )

3 5 2 1

2 1 2 2

2 !

arcsin 3 ...

6 40 2 ! 2 1

n

n n

x x n x

x x o x

n n

+ +

= + + + + +

+

Résultat final

Le développement limité en 0 à l’ordre 2n+1 de f x( )=arcsin

( )

x s’écrit :

( )

( ) ( )

3 5 2 1

2 1 2 2

2 !

arcsin 3 ... o

6 40 2 ! 2 1

n

n n

x x n x

x x x

n n

+ +

= + + + + +

+

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