PanaMaths Janvier 2002
Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 n + 1 de :
( )
( ) arcsin
f x = x
Analyse
On va ici utiliser le fait que l’on peut travailler plus simplement sur la dérivée de la fonction.
Résolution
On a : '( ) 1 2
(
1 2)
121
f x x
x
= = − −
− .
On va donc pouvoir utiliser le développement limité « standard » :
(
1+x)
m = +1 mx+m m(
2−1)
x2+ +... m m(
−1)(
m−k2 ...!) (
m k− +1)
xk+o( )
xkavec 1
m= −2.
A quel ordre doit-on effectuer ce développement limité ?
Puisque nous allons déterminer le développement limité de la composée des deux fonctions x6−x2 et x6
(
1+x)
−12, le développement limité obtenu ne comportera que des puissances paires de x. En l’intégrant, et en tenant compte du fait que arcsin(0)=0, le développement limité finalement obtenu ne comportera que des puissances impaires de x. Pour obtenir un développement limité à l’ordre 2n+1, celui de la dérivée doit être mené à l’ordre 2n. On doit partir du développement limité de(
1+x)
−12 à l’ordre n.On a donc pour n>0 :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 2
termes
2 3
1 1 1 1 1 1
1 1 2 ... 1
1 2 2 2 2 2 2
1 1 ... o
2 2 !
1 3 5 ... 2 1
3 5
1 ... 1 o
2 8 16 2 !
n n
n
n n n
n
n
x x x x x
n x x x n
x x
n
−
⎛− ⎞⎛− − ⎞ ⎛− ⎞⎛− − ⎞⎛− − ⎞ ⎛− − + ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ = − + + + +
× × × × −
= − + − + + − +
PanaMaths Janvier 2002
En remplaçant x par −x2 (composition des fonctions), il vient :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 2 2
1
2 2
2
2 4
2 2
2 4
2 2
3 5 1 3 5 ... 2 1
1 1 ... 1 o
2 8 16 2 !
1 3 5 ... 2 1
1 3 ... 1 1 o
2 8 2 !
1 3 5 ... 2 1
1 3 ... o
2 8 2 !
n n
n
n
n n n n
n
n n
n
x x x n
x x x
n x x n
x x
n x x n
x x
n
− − − − × × × × −
+ = − + − + + − − + −
× × × × −
= + + + + − − +
× × × × −
= + + + + +
On peut simplifier cette écriture en notant que :
( ) ( )( )( )
( ( ) )
( )
termes
1 2 3 ... 2 2 2 1 2
1 3 5 ... 2 1
2 4 6 ... 2 2 !
2 1 2 3 ...
2 ! 2 !
n
n
n
n n n
n n
n n n
n
× × × × − −
× × × × − =
× × × ×
= × × × ×
=
On a alors :
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 4
1 2 2
2
2 4
2 2
2 2
2 !
3 1
1 1 ... o
2 8 2 ! 2 !
2 !
1 3 ... o
2 8 2 !
n n
n n
n n
n
x x n
x x x
n n
x x n
x x
n
+ − = + + + + +
= + + + + +
En intégrant et en tenant compte de arcsin(0)=0, il vient finalement :
( )
( ) ( )
3 5 2 1
2 1 2 2
2 !
arcsin 3 ...
6 40 2 ! 2 1
n
n n
x x n x
x x o x
n n
+ +
= + + + + +
+
Résultat final
Le développement limité en 0 à l’ordre 2n+1 de f x( )=arcsin
( )
x s’écrit :( )
( ) ( )
3 5 2 1
2 1 2 2
2 !
arcsin 3 ... o
6 40 2 ! 2 1
n
n n
x x n x
x x x
n n
+ +
= + + + + +
+