G222 - Tirer des plans sur un cube
Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d’un cube ?
Solution proposée par Maurice Bauval
81 plans répondent à la question.
Soit le cube ABCDEFGH dont la longueur des arêtes est 2. Le carré inférieur EFGH repose sur un plan horizontal. Les arêtes verticales sont EA,FB,GC,HD. La face supérieure est le carré ABCD.
Je nomme 1,2,3,4 les milieux respectifs de AB,BC,CD,DA.
Je nomme 5,6,7,8 les milieux des arêtes verticales EA,FB,GC,HD, et enfin 9,10,11,12 les milieux des arêtes EF,FG,GH,HE.
A chaque sommet du cube on associe le plan qui passe par les 3 milieux les plus proches. Au sommet A on associe le plan 1,4,5. On comptabilise 8 plans.
On ajoute les 6 faces du cube et les 3 plans 5,6,7,8; 1,3,11,9; et 2,4,12,10, donc déjà 8+9= 17 plans.
A chaque diagonale du cube on associe son plan médiateur qui coupe le cube suivant un hexagone, par exemple à la diagonale DF on associe l’hexagone 4,5,9,10,7,3. Jusqu’alors 17+4= 21 plans.
12 plans tels que 1,4,12,9, coupent le cube suivant un rectangle de côtés 2 et racine de 2.
Total provisoire 21+12 = 33 plans.
24 plans tels que 1,3,10 ou 1,3,12, coupent le cube suivant un rectangle de côtés 2 et racine de 5.
Total 33+24 = 57 plans.
A chaque arête du cube on peut associer 2 plans qui passent par le milieu de cette arête et qui coupent le cube suivant un pentagone ( irrégulier ). Par exemple à l’arête FB dont le milieu est le point 6 on associe les 2 plans définis par les 3 points 6,4,3 ou les 3 points 6,12,11.
Pour 12 arêtes on trouve ainsi 24 plans. Total définitif 57+24 = 81 plans.
Une vérification est possible : Si 12 points de l’espace sont tels que 4 d’eux ne soient jamais coplanaires, il y a 12*11*10/6 = 220 plans qui passent par 3 de ces points.
Si, dans le décompte précédant, nous remplaçons 8 + 9 + 4 + 12 + 24 + 24 par 8 + 9*4 + 4*20 + 12*4 + 24 + 24 nous retrouvons bien un total de 220 plans.
