D334. Un rangement hypothétique
Problème proposé par Michel Lafond
Peut-on mettre un parallélépipède de dimensions 4 x 5 x 18 dans le cube de côté 15 ? Solution proposée par Maurice Bauval
Soit P un plan un plan contenant deux arêtes opposées du cube. Soient P’ et P’’ les deux plans parallèles à P et situés à la distance 2,5 de P. Les intersections du cube avec P’ et avec P’’ sont deux rectangles égaux, ce sont les faces opposées d’un parallélépipède rectangle de hauteur 15, de largeur 5, de longueur t = 152 – 5.
Je suis ramené à un problème plan : Dans un rectangle ABCD de côtés AB = DC = 15 et AD = BC = 152 – 5 = t, j’inscris un rectangle EFE’F’ de largeur EF = E’F’ = 4 en espérant que la longueur EF’ = FE’ sera au moins égale à 18.
Prenons E sur AD, F sur AB, E’ et F’ symétriques de E et F par rapport au centre du rectangle ABCD.
Le parallélogramme EFE’F’ est un rectangle si et seulement si les triangles AEF et BFE’ sont semblables. Je pose AE=x, AF=y, FB=x’, BE’=y’, k = x’/x = y’/y = FE’/4 = rapport de similitude.
On a x+y’ = t , x’+y =15 et x^2+y^2 = 16 .
x + ky = t et kx + y = 15 se résoud en x = (t-15k)/(1-k^2) et y = (15 – tk)/(1-k^2), k1 D’où l’équation (t-15k)^2 + (15 – tk)^2 – 16(1-k^2)^2 = 0 où t=152 – 5 et k est l’inconnue.
En développant : 16k^4 + (1502 – 732)k^2 + (9002 – 300)k + 1502 – 684 = 0
Cette équation admet seulement 2 racines réelles et une seule racine positive voisine de 4,527990499.
On obtient les valeurs approchées x = 2,651256465 et y = 2,995135911.
FE’ = 4k = 4 * 4.527990499 = 18.111962 > 18 . Donc le logement demandé est possible.
