G222. Tirer des plans sur un cube
Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d’un cube ?
Solution de Claude Felloneau Il y a 81 plans qui conviennent.
Soit un planP passant par les milieux de 3 arêtes du cube.
1. SiP passe par les milieux de deux arêtes opposées d’une face. Il y a 45 solutions possibles pour le planP.
bH bG
bC
bD
bE bF
bA
bB
b
I
bK
b b
H bG
b
C
bD
bE bF
b
A
bB
bK0
b
I
bK
b
I0
bH bG
bC
bD
bE bF
bA bB
bM
bI
bK
bN0
Par exemple, siP passe par les milieuxIetKde [AB] et [E F].
• SiP passe par le milieu d’une autre arête de la face AB F E, alorsP est le plan de la face AB F E.
Il y a 6 plans contenant une face du cube.
• SiP ne contient pas la faceAB F E.
Comme (I K) est parallèle à une arête, la section du cube par le planP est un rectangle dont le côté opposé à [I K] contient le milieu d’une arête.
5 cas sont possibles :
– Ce coté contient le milieuJ0de [D H].
P est alors le plan (I K D H).
P est un plan qui contient une arête et passe par le centre d’une face opposée à cette arête.
Chaque arête fournit 2 plans qui conviennent. On obtient donc ainsi 24 plans.
– Ce côté contient le milieuL0de [CG], on obtient le plan (I K CG) qui est du type précédent.
– Ce coté contient le milieuI0de [G H] ou le milieuK0de [C D].P passe alors par ces deux points car (I0K0) est parallèle à (I K).
P est un plan médiateur d’une arête.
Il y a 3 plans de ce type.
– Ce côté contient le milieuMde [AD] ou le milieuN0de [E H].
P passe alors par ces deux points car (N0M) est parallèle à (I K).
P est alors un plan perpendiculaire à une face et passant par deux milieux consécutifs d’arêtes de cette face.
Chaque couple de faces parallèles donne 4 plans de ce type, il y a donc 12 plans de ce type.
– Ce côté contient le milieuN de [BC] ou le milieuM0de [F G].
P est un plan du type précédent.
2. SiP passe par deux milieux de deux arêtes sécantes et ne passe pas par les milieux de deux arêtes parallèles de la même face.
Il y a 36 plans qui vérifient ces conditions et conviennent.
bH bG
b
C
bD
bE bF
bA bB
bM
b
I
b L
bH bG
b
C
bD
bE bF
bA bB
bM
b
I
bL0
b S
b
R
bP
bQ
bH bG
b
C
bD
bE bF
bA bB
bM
b
I
bJ
b
M0
b
I0
bJ0
b b
b
Par exemple, siP passe par les milieuxIetMde [AB] et [AD].
P coupe l’une des arêtes [AE], [B F], [CG] ou [D H].
– SiP coupe l’arête [AE] en un pointU.
Le planP coupe le cube suivant le triangle I MU. CommeP contient contient 3 milieux d’arêtes,Uest le milieuLde [AE].
P est un plan passant les 3 milieux d’arêtes les plus proches d’un sommet.
Il y a autant de plans de ce type que de sommets du cube, soit 8.
– SiP coupe l’arête [CG] en un pointV.
V est distinct deCsinonP serait le plan de la faceABC D.
Le milieuSde [M I] appartient à [AC], donc :
- (SV) coupe (EG) en un pointT à l’extérieur du segment [EG[ et le planP coupe le plan (E F G H) suivant la parallèle à (M I) passant parT, donc ne coupe pas la faceE F G H sauf éventuellement enG.
- (SV) coupe (AE) en un pointRappartenant à [AE0] oùE0est le symétrique deEpar rapport àA. Donc (R M) coupe [D H] en un pointQet (R I) coupe [B Fen un pointP.
La section du cube par le planP est donc le pentagoneM I PV Qet l’un des pointsP,V,Q est donc le milieu d’une arête.
SiP est le milieu J de [B F] ouQ le milieu de [D H], comme le planP est symétrique par rapport au plan (ACGE), il contient ces deux points.
Le milieuM0de [F G] est tel que−−−→
M M0=−→
AF=2−→
I J, doncP passe parM0. Ce qui contredit le fait queP ne coupe pas la faceE F G H.
DoncV est le milieuL0de [CG].
2
Le planP passe par le milieu d’une arête et coupe l’une des faces orthogonales à cette arête suivant un segment joignant les milieux de deux arêtes non coplanaires à cette arête.
Chaque arête donne 2 plans de ce type. Il y a donc 24 plans de ce type.
– SiP ne coupe ni l’arête [AE], ni l’arête [CG].
Comme, par hypothèse,P ne passe pas par les milieux de [E F] et [E H], il passe l’un des pointsJ,M0,I0,J0.
Comme−−−→
M M0=−→
AF=2−→
I J, J∈P ⇔M0∈P. Comme−−−→
I0M0=−−→
M I, M0∈P ⇔I0∈P. Comme−→
I0I=2−−→
M J0, I0∈P ⇔J0∈P.
DoncP contient les quatre pointsJ,M0,I0,J0.
Le planP est le plan médiateur de la diagonale [C E] car le milieu de [C E] est le centre du cube et aussi le milieu de [I I0], et (C E) est l’intersection des plans (ACGE) et (BC H E), plans médiateurs de [M I] et [I J].
Il y a donc autant de tels plans que de diagonales, soit 4.
3. Il est impossible queP ne passe pas par les milieux de deux arêtes sur la même face.
SiP ne passe pas par les milieux de deux arêtes de la même face et passe par exempleM, alors P ne contient aucun des milieux d’arêtes des facesABC DetAE H D.
– SiP passe par le milieuI0de [G H], alorsP ne contient aucun des milieux d’arêtes des faces C D HGetE F G H, doncP passe par le milieuJde [B F] (c’est le seul qui reste).
Le planP est alors le plan médiateur de [C E] et il coupe [AB] enI, ce qui est contraire à l’hypothèse.
– SiP ne passe parI0, il ne passe non plus parJ et donc passe par les milieuxK etL0de [E F] et [CG]. Le planP est alors le plan médiateur de [B H] et il coupe [C D] en son milieuK0, ce qui est contraire à l’hypothèse.
Aucun plan vérifiant cette condition ne peut convenir.
3
