• Aucun résultat trouvé

Problème combinatoire sur des plans passant par un système de points

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Problème combinatoire sur des plans passant par un système de points"

Copied!
5
0
0

Texte intégral

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

J ULES B OURDIN

Problème combinatoire sur des plans passant par un système de points

Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 16 (1857), p. 313-316

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1857_1_16__313_1>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1857, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

(2)

PROBLÈME COMBINATOIRE SUR DES PLANS PASSANT PAR UN SYSTÈME DE POINTS;

PAR M. JULES BOURDIN, Elève du lycée Saint-Louis (classe de M Briot)

Etant donnés dans lespace m points dont quatre ne sont pas dans le même plan , trouver le nombre des points nouveaux qui résultent de l'intersection des plans qu'on peut mener par les points donnés.

Le nombre des plans différents qui peuvent passer par les m points pris trois à trois, est donné par la for- mule

s m ( m — i ) ( m — 2 )

Les intersections de ces plans trois a trois, s'ils étaient quelconques , seraient données, en représentant par M le nombre des plans, par la formule analogue

M ( M — i ) ( M — 2 ) 1 . 2 . 3

Mais ces plans ont été menés par les m points donnés*, la formule (1) énmnère outre les points cherchés : i° les points donnés, i° des droites passant par les points don- nés, 3° des points multiples.

De là trois corrections à faire subir à la formule (1), si

(3)

l'on ne veut obtenir que les points nouveaux et ne comp- ter chacun qu'une seule fois.

Première correction.

Par un des points donnés il passe autant de plans qu'on peut mener de droites par les (m — i) points res-

, , , . [m — i ) ( / « — 2) T i / • i_

tants, c est-a-dire —— -• Je désigne ce nombie par N; si je prends maintenant toutes les combinaisons de ces N points trois à trois, j'.aurai le nombre des inter- sections qui se confondent avec le point donné. Ce

i V ( N — i W N — 2 ) ,

nombre est — <—> -, la premiere con ection sera doue

N(N — iWN —2) 1 2 . 3

Deuxième correction.

11 est à remarquer que dans le cas général pour qu'il passe plus de deux plans par une même droite, il faut que celte droite joigne deux des points donnés, a et h par exemple; la droite ah est alors l'intersection commune de

(m — 2) plans dont les combinaisons trois à trois

(m— i)(m — 2) (/« — 3 )

T~273'

sont comprises dans la formule, mais qui par la prcmièic correction ont été retranchées comme se confondant avec le point donné a\ ces mêmes combinaisons ont également été retranchées comme se confondant avec le point b \ il faudra donc comme deuxième correction ajouterle nombie

( /// — 2 ) ( m — 3 ) ( m -— 4 )

autant de fois qu'on peut mener de droites par les m points

(4)

( 3 . 5 )

donnés, c'est-à-dire • fois. La deuxième correc-

1.2

tion est donc

m (m — i) (/// — 2 ) ( w — 3 ) ( w — 4)

1.2 1.2 3

ou, en multipliant et divisant par 10,

m [m — i ) (m — 2 ) (m — 3) ( m — f\ ) i . 2 . 3 . 4 - 5

Troisième correction.

Nous avons vu plus haut que les droites qui joignent les points donnés deux à deux étaient les seules qui fus- sent formées par l'intersection de plus de deux plans.

Les points multiples, c'est-à-dire ceux qui donnent les intersections de plus de trois plans, se trouveront donc par l'intersection de ces droites avec les plans menés par les (m — 2) points étrangers à la dioite, pris trois à trois, et dont le nombre sera

[m — 2) (m — 3) (m — 4 )

Un voit ainsi qu il y aura sur chacune de^

droites qui joignent les points deux à deux, (m — a) (/ii — 3) (/?? — 4)

1.2.3

points cherchés et qui chacun auront été comptés par la formule (1) autant de fois qu'il y a de combinaisons deux » deux des (m — 2) plans qui forment une droite, c'est-à-dire ( m — 2) (m — 3) c . _ . .,

lois. La troisième et dernière correc-

1.2

(5)

( 3i6 tion sera donc

(,„ „ 2 ) ( /„ - 3) (m - 4) f > ' - 2) (m — 3) "1 X ö M '

1«2.^ L * 2 J o u , en m u l t i p l i a n t et divisant p a r I O ,

m(m — i) ( m — 2) ( m —- 3 ) ( m — 4 )

• ~!° 1 . 2 . 3 . 4 . 5 r(W-2)(//i-3) 1

Le nombre des points cherchés sera donc compris dans la formule

M ( M — i ) ( M — 2 ) N { N — i ) ( N — 1) 1 . 2 . 3 1 . 2 . 3 m (m — 1 ) (/w — 2 ) (/;/ — 3) ( w — 4 )

i — 2 ) ( w — 3 )

en posant

__ '»{'" — 0 ("i — V

I . 2 . 3

et

m (m — 1 ) (/« — 2 ) 1.2

Note. Ce problème a déjà été traité dans le Journal de M. Liouville, t. Y, p. 264, mais on n'a pas eu égard à la première et à la troisième correctian.

Références

Documents relatifs

On fera très attention à la présentation des calculs (à faire en colonnes).. Exprimer en fonction de n le nombre de diviseurs positifs de a. 1°) Soit n un entier naturel fixé. 2°)

Les triangles que les diverses cubiques passant par cinq points tracent sur un plan iixe a sont, on le sait, conjugués par rapport à une conique Ha de ce plan : la trace sur le plan

Ici encore nous éloignerons à l'infini, dans une di- rection fixée arbitrairement, le point e et le plan e, et, sur cette direction ûxe^ nous distinguerons les deux sens -f- r, — f,

Mais, comme tout à l'heure, cette dernière relation reste étrangère à l'élimination, en sorte que le lieu des foyers de* toutes les surfaces de révolution, passant par une

Cela posé, soient AC, BC deux côtés opposés du qua- drilatère et AB la droite donnée \ si nous recherchons la courbe dont les ordonnées perpendiculaires à la droite AB soient

Si d'un point quelconque de la conique, on mène des droites aux quatre sommets de quadrilatère inscrit, on obtient un faisceau de quatre droites et quatre trian- gles ayant pour

 Une demi-droite est un ensemble infini de points alignés limité dans une direction par un pointx. Un point O sur une droite (xy) détermine deux demi-droites opposées d’origine O.

(Un miroir, un tableau, une feuille de papier donnent l’image d’un plan.).. Le point A appartient au plan P ; le point B n’appartient pas au