Fiche Équations de plans et de droites dans l’espace 2010-2011
0~j
~k
~i
b
−d c
b
A(xA, yA, zA) PlanP
Vecteur normal
−
→n
a b c
Le plan P passant par A(xA, yA, zA) et admettant le vecteur −→
n comme vecteur normal a pour équation :
ax+by+ cz+d = 0
Exercice 1 : On considère le plan P d’équation 2x−y + 3z−4 = 0. Donner un point à coordonnées entières appartenant àP. Le pointA(−1,2,5) appartient-il àP? Donner un vecteur normal de P.
Exercice 2 : On considère le plan Qde vecteur normal−→ n
−3 5 7
passant par le pointS(−1,0,−1). Déterminer une équation cartésienne du planQ.
Exercice 3 : Montrer que les pointsA,B etC ne sont pas alignés et donner une équation du plan (ABC) : A(1,−1,3)B(2,5,−1) etC(−3,4,0)
Exercice 4 : Donner l’équation du plan parallèle au plan 3x−y−z+ 4 = 0 passant par le pointA(−1,1,1)
0~j
~k
~i
b
A(x0, y0, z0) Droited Vecteur directeur −→
u
−
→u
α β γ
Le droite d passant par A(x0, y0, z0) et admettant le vecteur −→
n comme vecteur directeur a pour système d’équations paramétriques :
x = x0 +tα
y = y0 + tβ t ∈ R z = z0 +tγ
Une valeur du paramètretdonne un point de coordonnées (x, y, z) et réciproquement.
Exercice 5 : La droite d a pour équations
x= 2 + 3t
y= 1−2t t∈R z=−4 + 4t
. Donner les coordonnées de trois points de la droite. Le pointB(32,−19,36) appartient-il àd?
Exercice 6 : Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) avecA(−1,2,−3) etB(1,−1,1).
Exercice 7 : Déterminer le point d’intersection du planP :x+ 2y−z+ 2 = 0 et de la droited(A,−→
u) avecA(2,1,−4) et−→
u
2
−2 4
.
Exercice 8 : Quelle est l’intersection de la droite (AB) avec le plan passant parC et orthogonal à−→ u? AvecA(1,2,0), B(−1,3,−2),C(3,2,−1) ;−→
u
1
−1 4
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