Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d’un cube ?
Un cube a huit sommets, douze arêtes, six faces, quatre diagonales (joignant les sommets symétriques par rapport au centre), et six plans diagonaux (contenant chacun deux diagonales). Les milieux des arêtes peuvent être groupés en
12*11*10/6=220 trios distincts.
Le plan médiateur de chaque diagonale contient six points, formant un hexagone régulier.
Chaque face, ainsi que le plan médian de chaque couple de faces parallèles (soit 9 plans), contient quatre points disposés en carré.
Les couples de plans parallèles à chacun des plans diagonaux (soit 12 plans) contiennent également quatre points disposés en rectangle.
Il y a donc 4 plans contenant 6 points, donc 20 trios, et 21 plans contenant 4 points, donc 4 trios : il reste 220-4*20-21*4=56 trios non coplanaires avec d’autres, soit un total de 4+21+56=81 plans distincts.
