G222 Tirer des plans sur un cube
Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d’un cube ?
Nommons les 12 points de A à L, de manière quasi-arbitraire, aux fins de référence seulement.
Pour être raisonnablement sûr de ne pas oublier de plans, nous traiterons conjointement les questions "passant par les milieux de trois arêtes exactement" et "passant par les milieux de trois arêtes au moins". In fine, nous donnerons naturellement les deux décomptes.
Partons du point A. Il est sur les deux faces AEBF et AIDL.
1. Il y a déjà les plans des faces, soit 6 plans (autant que de faces). Chacun passe par 4 points.
2. Il y a le plan ABCD et les trois autres homologues, parallèles chacun à une direction de face et coupant le cube en deux, soit 3 plans (autant que de directions de faces).
Chacun passe par 4 points.
3. Il y a les plans de "coins", de type AIF, soit 8 plans (autant que de sommets). Chacun passe par 3 points.
4. Il y a les plans coupant le cube en (1/8; 7/8), de type IFEL, soit 12 plans (autant que d'arêtes). Chacun passe par 4 points.
5. Il y a les plans coupant le cube en (1/4; 3/4), de type AGH, soit 24 plans (pour chacune des 12 arêtes (prenons celle de A), il y a les 2 médianes des faces opposées (dans ce cas : GH et JK). Chacun passe par 3 points.
6. Il y a les plans "hexagonaux" de type AFJCHL, soit 4 plans (autant que de diagonales principales du cube). Chacun passe par 6 points.
7. Il y a les plans de type ALG, c’est-à-dire déterminés par une "corde de milieux" d'une face (ici : AL) et le milieu (ici : G) de l'arête orthogonale à la face de cette corde au point opposé à ladite corde dans sa face, soit 24 plans (autant que de faces (6) × de cordes (4)). Chacun passe par 3 points.
Récapitulation
Le tableau ci-après récapitule, pour chaque configuration (1 à 7), le nombre de plans et le nombre de points (p) par lesquels passe chaque plan. Les nombres de points par plan sont alors pris en compte par Cp3
, afin de vérifier qu'au total on a bien traité les C123
= 220 triplets de points.
n° plans points (p) Cp3 soit
1 6 4 4 24
2 3 4 4 12
3 8 3 1 8
4 12 4 4 48
5 24 3 1 24
6 4 6 20 80
7 24 3 1 24
passant par 3 points au
moins 81 220
passant par 3 points
exactement 56
La réponse est donc :
Il y a 81 plans passant par 3 points au moins, dont 56 plans passant par 3 points exactement.
