LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2017–2018
Devoir maison no16 – mathématiques Correction
Exercice 1 1. On a :
−→AG= 1 4
−→AB+1 4
−→AC+ 1 4
−−→ AD
⇔ 4−→
AG=−→
AB+−→
AC+−−→ AD
⇔ 4−→
AG=−→
AG+−−→ GB+−→
AG+−→
GC +−→
AG+−−→
GD (Chasles)
⇔ 4−→
AG= 3−→
AG+−−→ GB+−→
GC +−−→
GD
⇔ −−→
AG+−−→ GB+−→
GC +−−→
GD =−→ 0
⇔ −→
GA+−−→ GB+−→
GC +−−→
GD =−→ 0
2. En partant de la relation précédente :
−→GA+−−→ GB+−→
GC+−−→
GD =−→ 0
⇔ −→ GI+−→
IA+−→ GI+−→
IB+−→
GJ +−→
J C+−→
GJ+−→
J D=−→
0 (Chasles)
⇔ 2−→
GI+ 2−→
GJ =−→ 0(−→
IA+−→ IB=−→
0 car I est le milieu de [AB], de même −→
J C+−→
J D=−→ 0)
⇔ −→ GI =−→
J G
On en déduit que −→
GI et−→
J G sont colinéaires (en fait égaux), donc que G, I etJ sont alignés, autrement dit que G∈(IJ).
On peut démontrer de même que −→
GL=−−→
KG.
Ainsi, G∈(KL) etG appartient aux deux droites (IJ) et (KL), ce qu’il fallait démontrer.
3. DansABC,I est le milieu de [AB]etK est le milieu de [BC]. On en déduit que (IJ)//(AC).
De même, dans le triangle ACD, comme J est le milieu de [CD] etL est le milieu de [AD], (LJ)//(AC).
On en déduit que (IK)//(LJ).
On démontre de même que (IL)//(J K).
On en déduit que, du fait que les côtés opposés deux à deux de IKJ L sont parallèles,IKJ L est un parallélogramme.
Exercice 2
• Pour l’intersection entre (IJ K) et la face ABF E, on sait déjà que I appartient aux deux plans. On cherche donc un second point. Pour cela, on observe que(J K)et(EF)sont sécants en un point X que l’on construit. Le point X est le point recherché : il appartient aux deux plans (IJ K)et(EF I). Il suffit alors de tracer la droite(XI). On nomme M le point de(XI) appartenant à [AB].
• Pour l’intersection entre (IJ K) et la face ABCD, on observe que le plan (IJ K) coupe les deux plans parallèles (EF G)et(ABC) (faces opposées du cube). Les intersections sont alors des droites parallèles. On trace donc la parallèle à (J K) passant par M.
Voir la figure ci-après :
A B D C
E F
G H
I J
K
X
M
