G222. Tirer des plans sur un cube
Combien y a-t-il de plans distincts entre eux qui passent par les milieux de trois arêtes d’un cube ?
Solution proposée par Jérôme Pierard
Un cube a douze arêtes qui ont chacune un milieu (ci-après dénommé « point »).
Chaque milieu d’arête est relié à (11x10)/(1x2) = 55 groupes de deux autres points caractérisant ainsi autant de plans pas forcément distincts,
En tout, on a 55 x (12/3) = 220 groupes de 3 points.
La liaison des milieux des arêtes du cube caractérisent 21 plans contenant 4 points :
- Les 3 plans orthogonaux parallèles chacun à deux des 6 faces opposées du grand cube
- les 6 faces de chacun des 3 petits parallélépipèdes inscrits dans le plus grand cube, soit 18 plans supplémentaires (dont les 2 faces extérieures sont confondues avec les faces du cube),
Aucun plan ne passe par 5 points dès lors que si tel était le cas 5 des sommets du cube seraient coplanaires et ce ne serait donc plus un cube.
Les 4 faces reliant les arêtes opposées de chacun des 3 petits parallélépipèdes inscrits, soit encore 12 plans supplémentaires. Toutefois ces plans supplémentaires sont confondus 3 à 3 et on n'a donc véritablement que 12/3 = 4 plans supplémentaires qui passent chacun par 6 points :
Chaque plan contenant 4 points correspond à (4x3x2)/(3x2x1) = 4 groupes de 3 points, il y en a 21 qui correspondent en tout à 84 groupes de 3 points,
Chaque plan contenant 6 points correspond à (6x5x4)/(3x2x1) = 20 groupes de 3 points, il y en a 4 qui correspondent en tout à 80 groupes de 3 points,
Restent 220- (84 + 80) = 56 groupes de 3 points correspondant tous à des plans distincts.
On a donc en tout 56 + 21 + 4 = 81 plans distincts.
