G164 – Avec un peu de patience...
Problème proposé par Michel Lafond
Combien faut-il en moyenne de tirages consécutifs au loto (6 numéros tirés sans remise parmi 49) pour voir sortir au moins une fois tous les numéros ?
Solution proposée par Michel Lafond Il faut en moyenne un peu plus de 35 tirages.
Notons l’espérance mathématique du nombre de tirages nécessaires à la sortie des 49 numéros, lorsqu’on en a déjà vu sortir n.
On cherche
Le premier tirage donne 6 numéros. Donc On va calculer successivement
Notons et l’évènement : On a vu sortir V numéros distincts depuis le début des tirages.
L’arbre ci-dessous :
montre que
d’où on tire aisément
L’arbre ci-dessous :
montre que
d’où on tire aisément
On continue ainsi :
d’où
Etc.
pour arriver à (un programme est souhaitable) : d’où Remarque : on peut obtenir une bonne approximation à la main !
En effet :
L’épreuve précédente est très proche de l’épreuve consistant à effectuer des tirages d’UN numéro AVEC REMISE parmi les 49 numéros, jusqu’à l’obtention de tous les numéros, à compter le nombre de tirages nécessaires (en moyenne) et à diviser par 6.
Il faudra simplement un tout petit peu plus de tirages, car on a un peu plus de chances de retirer les mêmes numéros qu’avec des tirages par paquets de 6 sans remise.
Un calcul classique (semblable au précédent, en plus simple) montre que l’espérance vaut alors :
0,57721… est la constante d’Euler
Mentalement :
