G279. Tirages au scrabble
Problème proposé par Michel Lafond
Quel est le nombre de premiers tirages possibles au scrabble français (7 lettres du sac) ? Liens:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Scrabble http://www.ffsc.fr/index.php
Solution proposée par Paul Voyer
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lettres_du_Scrabble dit :
En français, il y a 102 jetons (dans la première édition du jeu, il n'y avait pas de jokers, et le jeu ne contenait donc que 100 jetons). Les diacritiques ne sont pas pris en compte :
0 point : Joker ×2 (appelés en français jokers ou lettres blanches)
1 point : E ×15, A ×9, I ×8, N ×6, O ×6, R ×6, S ×6, T ×6, U ×6, L ×5
2 points : D ×3, M ×3, G ×2
3 points : B ×2, C ×2, P ×2
4 points : F ×2, H ×2, V ×2
8 points : J ×1, Q ×1
10 points : K ×1, W ×1, X ×1, Y ×1, Z ×1
On compte 27 lettres différentes : 1 lettre en 15 exemplaires E 1 lettre en 9 exemplaires A 1 lettre en 8 exemplaires I
6 lettres en 6 exemplaires N, O, R, S, T, U 1 lettre en 5 exemplaires L
2 lettres en 3 exemplaires D, M
8 lettres en 2 exemplaires G, B, C, P, F, H, V, Joker 7 lettres en 1 exemplaire J, Q, K, W, X, Y, Z
1 lettre (E) est représentée 15 fois 2 lettres (E et A) sont représentées 9 fois 3 lettres (E, A et I) sont représentées 8 fois 9 lettres sont représentées 6 fois
10 lettres sont représentées 5 fois 12 lettres sont représentées 3 fois 20 lettres sont représentées 2 fois 27 lettres sont représentées.
Les tirages possibles sont :
7 7 lettres identiques parmi 3 groupes de 7.
6-1 6 identiques parmi 9 groupes plus 1 parmi 26
5-2 5 identiques parmi 10 groupes plus 1 paire parmi 19 groupes de 2.
5-1-1 5 identiques parmi 10 groupes plus 2 distinctes parmi 26
4-3 4 identiques parmi 10 groupes plus 1 triplet parmi 11 groupes de 3.
4-2-1 4 identiques parmi 10 groupes plus 1 paire parmi 19 groupes de 2 plus 1 parmi 25
4-1-1-1 4 identiques parmi 10 groupes plus 3 distinctes parmi 26 3-3-1 2 triplets parmi 12 groupes plus 1 parmi 25
3-2-2 1 triplet parmi 12 groupes plus 2 paires parmi 19 groupes de 2.
3-2-1-1 1 triplet parmi 12 groupes plus 1 paire parmi 19 groupes plus 2 distinctes parmi 25.
3-1-1-1-1 1 triplet parmi 12 groupes plus 4 distinctes parmi 26.
2-2-2-1 3 paires parmi 20 groupes plus 1 parmi 24
2-2-1-1-1 2 paires parmi 20 groupes plus 3 distinctes parmi 25.
2-1-1-1-1-1 1 paire parmi 20 groupes plus 5 distinctes parmi 26 1-1-1-1-1-1-1 7 distinctes parmi 27.
Décompte des tirages :
7 3= 3
61 9*26= 234
52 10*19= 190
511 10*C(26,2)= 3250
43 10*11= 110
421 10*19*25= 4 750
4111 10*C(26,3)= 26 000
331 C(12,2)*25= 1 650
322 12*C(19,2)= 2 052
3211 12*19*C(25,2)= 68 400
31111 12*C(26,4)= 179 400
2221 C(20,3)*24= 27 360
22111 C(20,2)*C(25,3)= 437 000
211111 20*C(26,5)= 1 315 600
111111 C(27,7)= 888 030
total = 2 954 029
