G164. Avec un peu de patience G1. Calcul des probabilités Problème proposé par Michel Lafond
Combien faut-il en moyenne de tirages consécutifs au loto (6 numéros tirés sans remise parmi 49) pour voir sortir au moins une fois tous les numéros ?
Solution proposée par Paul Voyer
Une situation peut être décrite par k, nombre de numéros qui ont déjà été tirés.
Après le premier tirage, le nombre k des numéros tirés est 6.
Après le deuxième tirage, ce nombre est :
6 avec une probabilité p6(2)= celle de tirer à nouveau les 6 mêmes numéros 7 avec une probabilité p7(2) = celle de tirer 1 nouveau numéro et 5 déjà tirés 8 avec une probabilité p8(2)
9 avec une probabilité p9(2) 10 avec une probabilité p10(2) 11 avec une probabilité p11(2)
12 avec une probabilité p12(2) = celle de tirer 6 numéros tous nouveaux plus de 12 avec une probabilité nulle
La somme de ces probabilités est 1.
Ajout d'un nombre tiré
Partant de k numéros existants (déjà tirés), le premier numéro d'un tirage de 6 donne pour la situation suivante :
k si on a tiré un numéro existant probabilité k/49 k+1 si on a tiré un numéro pas encore tiré probabilité (49-k)/49 La suite se comporte comme un ensemble de 48 numéros
Le deuxième numéro tiré aboutit à
k proba = (k/49)*(k/48) k puis k
=49*48
² k
k+1 proba = (k/49)[(48-k)/48] + [(49-k)/49]*k/48 k puis k+1 et k+1 puis k
=
48
* 49
² 2 49 48 48
* 49
² 49
²
48k k k k k k
k+2 proba = [(49-k)/49][(48-k)*48 k+1 puis k+2
48
* 49
48
* 49 48 49
² k
k
Une telle approche conduit à une suite de calculs pratiquement inextricables.
On va donc raisonner directement sur les espérances mathématiques E(k) des nombres de tirages nécessaires à la sortie des 49 numéros lorsqu'on on en a déjà rencontré k et à établir des relations de récurrence entre les E(k), E (k+1), etc... avec les pondérations adéquates, sachant que l'on recherche E(0).
Par exemple,
E(24) = 1 + a*E(24) + b*E(25) + c*E(26) + d*E(27) + e*E(28) + f*E(29) + gE(30)
avec :
a = C246C496 , probabilité de tirer 6 numéros parmi les 24 numéros déjà tirés b = 6
49 1 25 5 24
C C
C ,probabilité de tirer 5 numéros parmi les 24 déjà tirés et 1 parmi les 25 non encore tirés
c= 6
49 2 25 4 24
C C
C , probabilité de tirer 4 numéros parmi les 24 tirés et 2 parmi les 25 autres.
… g = 6
49 6 25
C
C probabilité de tirer 6 numéros parmi les 25 numéros non encore tirés.
En ajoutant les conditions E(49)=0, et E(44)=E(45)=E(46)=E(47)=E(48)=1.
Les 50 équations linéaires ainsi obtenues pourraient être résolues par un calcul lourd et fastidieux, calculant d'abord E(43), puis E(42), etc..., jusquà E(0).
Il est plus rapide d'obtenir une très bonne approximation par itérations successives sur un tableur.
Il faut E(0) = 35.0835… tirages consécutifs en moyenne pour voir sortir au moins une fois tous les numéros.
L'itération se fait en recopiant la colonne B (résultat des équations) dans BD (valeur initiale) et en recalculant.
Elle est déclenchée manuellement autant de fois que nécessaire jusqu'à convergence du résultat, car EXCEL refuse les références circulaires.
- La colonne A représente le produit matriciel présent dans les équations
- La colonne B intègre le "+1" de chaque équation, pour copie ultérieure dans BD.
La colonne BD est préalablement initialisée pour réaliser les conditions initiales (6 derniers termes).
