l’ensemble des 6 bons numéros à trouver

(1)

E443-Surprise partie.

Solution proposée par Michel Lafond

Une solution en 14 questions.

Il faut trouver 6 "bons" entiers choisis dans E = {1,2,3, ---, 49} en posant un minimum de questions Q1, Q2 ---. Chaque question est une partie quelconque de E et la réponse à Qi est le nombre ri de bons entiers présents dans Qi .

Ce qui suit est un ensemble d’arguments pour une solution en 14 questions.

Notons C(n, p) le nombre de combinaisons de p éléments parmi n et appelons "code" l’ensemble des 6 bons numéros à trouver.

Notons qi le cardinal de la question Qi et ri la réponse à la question Qi c’est à dire le nombre de bons numéros [ou cardinal de E  Q_i].

 Choix de la première question.

Il y a C(49, 6) = 13983816 codes possibles. Cherchons la première question la plus discriminante possible [qui limitera au mieux le champ des codes possibles compatibles avec la réponse].

On n’a pas intérêt à poser une question Q1 de cardinal 6. En effet si q1 = 6, on aura 7 réponses possibles : r1 = 0, 1, 2 --- 6 et la réponse r1 = y concerne C(6, y)  C(43, 43 – y) codes possibles.

y C(6, y)  C(43, 43 – y)

0 6096454

1 5775588

2 1851150

3 246820

4 13545

5 258

6 1

Mais le tableau ci-dessus montre que dans le pire des cas (r1 = 0) on aura fait passer l’effectif des codes possibles de 13983816 à 6096454 soit un facteur de réduction de 13983816 / 6096454 = 2,3 seulement.

Si chaque question provoquait un facteur de réduction des possibilités de 2,3 il faudrait 20 questions pour trouver le code car ln (C(49, 6)) / ln (2,3)  19,75. Il faut absolument améliorer la procédure.

Notons Pi le nombre de codes possibles après avoir obtenu la réponse ri [avec la convention P0 = C(49, 6)] et i = Pi / Pi+1 le i-ème facteur de réduction.

On a intérêt à avoir des facteurs de réduction les plus grands possibles, le but étant de passer de P₀ = C(49, 6) à P_n = 1 en n questions.

Revenons à nos moutons : quel sera le bon choix pour la première question Q1 ?

Examinons tous les cardinaux possibles q1 de 1 à 24 [Inutile de dépasser 24, car poser la question Q apporte exactement la même information que poser la question complémentaire, à savoir le nombre de bons numéros présents dans Q et le nombre de bons numéros présents dans son complémentaire].

Pour chaque valeur q1 de 1 à 24 on dresse comme ci-dessus le tableau des valeurs P1 correspondant à toutes les réponses r1 possibles [leur nombre est MIN (q1, 6)] et on calcule le facteur de réduction 1 en se plaçant dans le pire des cas [celui où P1 est maximal].

On trouve par programme que 1  3,21 [pour q1 = 21] est le meilleur choix avec : r1 P1 = C(21, r1)  C(28, 6 – r1)

0 376740

1 2063880

2 4299750

(2)

3 4357080

4 2262330

5 569772

6 54264

Comme tous les nombres jouent le même rôle, on choisira donc pour première question : Q1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}

Dans le pire des cas [r 1 = 3] on aura à trouver le code parmi 4357080 possibilités, soit une division par un facteur 3,21 des possibilités.

 Choix de la deuxième question.

Il faudrait en toute rigueur examiner les 7 réponses à la première question, et pour chacune trouver une deuxième question appropriée. Mais, intuitivement, il suffit de se placer dans le pire des cas.

On va quand même étudier les deux "pire" cas, c’est à dire r1 = 3 [puis r₁ = 2 avec P₁ = 4299750].

 Si r 1 = 3 la question Q2 va consister à choisir x1 nombres parmi E1 = {1, 2, 3, --- 19, 20, 21}

et x₂ nombres parmi E₂ = {22, 23, 24, --- , 47, 48, 49}.

Il y a donc 21  28 = 588 questions possibles. [Dans E1 et E2 les nombres jouent le même rôle].

Pour chaque question Q₂ on examine les réponses possibles [en nombre MIN (x₁ + x₂ , 6)] et on calcule le facteur de réduction 2 en se plaçant dans le pire des cas [celui où P2 est maximal].

Un programme montre que le meilleur choix pour x1 et x2 est x1 = 9 et x2 = 12.

On choisira donc (Si r1 = 3) pour deuxième question :

Q2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33}

On a alors :

r2 P2

0 123200

1 649440

2 1329600

3 1344784

4 707832

5 183744

6 18480

total P1 = 4357080

Dans le pire des cas [r2 = 3], le facteur de réduction est 2 = P1 / P2 = 4357080 / 1344784  3,24.

Il n’est pas étonnant que q2 = q1 = 21 car si le cardinal 21 est le plus discriminant possible, c’est pour une raison combinatoire qu’on expliquera à la fin.

 Si r₁ = 2 la question Q₂ va toujours consister à choisir x₁ nombres parmi E₁ = {1, 2, 3, --- 19, 20, 21} et x2 nombres parmi E2 ={22, 23, 24, --- 47, 48, 49}.

Pour chaque question Q2 on examine les réponses possibles [en nombre MIN (x1 + x2 , 6)] et on calcule le facteur de réduction 2 en se plaçant dans le pire des cas [celui où P2 est maximal].

Un programme montre que le meilleur choix pour x₁ et x₂ est encore x₁ = 9 et x₂ = 12.

On choisira donc (Si r₁ = 2) pour deuxième question :

Q₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33}

On a alors un tableau très proche du précédent :

r2 P2

0 120120

1 640080

2 1314000

3 1329600

(3)

5 180180

6 17820

total P₁ = 4299750

 Choix de la troisième question.

Il faudrait en toute rigueur examiner les 7² = 49 réponses aux deux premières questions, et dans chaque cas trouver une question Q3.

On va se placer uniquement dans les deux "pire" cas, c’est à dire r1 = 3 et (r2 = 3 ou r2 = 2).

 Si r1 = 3 et r2 = 3, l’information qu’on possède alors est que :

On a 3 bons numéros parmi {1,2, --- , 21} et 3 bons numéros parmi {22,23, --- , 49} [réponse r1] et : On a 3 bons numéros parmi {1,2, --- , 9, 22, 23, --- , 33} et 3 bons numéros parmi {10, 11, --- , 21, 34, 35, --- , 49} [réponse r2].

Ce qui laisse 4 possibilités selon le nombre de bons numéros parmi les 4 sous-ensembles de E ci-dessous : Sous-ensemble 1, 2, --- , 9 10, 11, --- , 21 22, 23, --- , 33 34, 35, ---, 49

Bons numéros

0 3 3 0

1 2 2 1

2 1 1 2

3 0 0 3

Je n’ai pas étudié toutes ces possibilités, je n’ai fait que choisir arbitrairement des questions Q3 de cardinal 21 en prenant au hasard des questions comprenant environ 3 / 7 des nombres dans chacun des 4 sous-ensembles précédents [3 / 7  49 = 21], et en faisant tester ces questions par programme jusqu’à trouver une question Q₃ avec un facteur de réduction suffisamment grand.

Je propose Q3 = {1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}

On a alors :

r₃ P₃

0 39550

1 202041

2 407272

3 411533

4 219522

5 58676

6 6190

total P₂ = 1344784

Dans le pire des cas [r₃ = 3], le facteur de réduction est ₃ = P₂ / P₃ = 1344784 / 411533  3,27.

 Si r₁ = 3 et r₂ = 2, on procède de la même manière :

Avec encore Q3 = {1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40} on a :

r3 P3

0 38955

1 200088

2 403732

3 407272

4 216283

5 57320

6 5950

(4)

total P2 = 1329600

Je n’ai pas étudié les autres réponses [r2 = 0, 1, 4, 5 ou 6] mais les effectifs P2 étant nettement inférieurs, trouver le code doit être plus facile…

 Choix de la quatrième question.

Je me place uniquement dans le pire cas précédents, c’est à dire r3 = 3.

Je propose Q₄ = {1, 2, 5, 6, 10, 11, 15, 16, 17, 22, 23, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44}

On a alors :

r4 P4

0 12464

1 62123

2 123730

3 125064

4 67568

5 18544

6 2040

total P3 = 411533

On constate que les facteurs de réduction (dans le pire des cas) sont remarquablement constants, et s’ils se maintiennent au niveau de 3,24 on peut espérer un nombre de questions égal à 14 puisque :

ln (C (49,6)) / ln (3,24)  14

 Choix des questions suivantes.

A chaque fois, je me place uniquement dans le pire cas de la réponse précédente.

Si r₄ = 3, je prends Q₅ = {1, 3, 5, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 22, 24, 27, 28, 30, 34, 37, 38, 41, 42, 45, 46}

r5 P5

0 3575

1 18180

2 36944

3 38265

4 21316

5 6082

6 702

total P₄ = 125064

Si r5 = 3 je prends Q6 = {2, 5, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 23, 25, 28, 31, 33, 35, 37, 38, 40, 43, 46, 47}

r6 P6

0 1387

1 6342

2 11766

3 11262

4 5792

5 1549

(5)

total P5 = 38265

Ici, le pire des cas est pour r₆ = 2, le facteur de réduction est ₆ = P₅ / P₆ = 38265 / 11766  3,25.

Si r₆ = 2, je prends Q₇ = {1, 4, 9, 10, 13, 14, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 34, 35, 36, 39, 40, 42, 45, 47}

r7 P7

0 276

1 1632

2 3559

3 3667

4 2030

5 542

6 60

total P6 = 11766

Ici, le pire des cas est pour r7 = 3, le facteur de réduction est 7 = P6 / P7 = 11766 / 3667  3,21.

Si r7 = 3, je prends Q8 = {2, 4, 9, 11, 12, 16, 18, 20, 21, 24, 26, 27, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 42, 44, 48}

r₈ P₈

0 118

1 607

2 1108

3 1119

4 545

5 154

6 16

total P7 = 3667

Ici, le pire des cas est pour r₈ = 3, le facteur de réduction est 8 = P₇ / P₈ = 3667 / 1119  3,28.

Si r8 = 3, je prends Q9 = {2, 3, 7, 9, 11, 15, 17, 20, 21, 23, 26, 28, 31, 33, 35, 37, 38, 40, 42, 45, 48}

r9 P9

0 53

1 193

2 328

3 327

4 169

5 44

6 5

total P₈ = 1119

Si r₉ = 2, je prends Q₁₀ = {1, 3, 8, 9, 10, 15, 18, 20, 21, 23, 27, 28, 32, 33, 36, 37, 39, 40, 43, 45, 47}

r10 P10

0 15

1 68

2 96

3 99

4 39

(6)

5 10

6 1

total P₉ = 328

Si r₁₀ = 3, je prends Q₁₁ = {1, 4, 9, 10, 14, 15, 17, 19, 20, 24, 26, 30, 31, 32, 35, 38, 40, 41, 43, 44, 46}

r₁₁ P₁₁

0 4

1 11

2 27

3 28

4 23

5 4

6 2

total P10 = 99

Si r₁₁ = 3, je prends Q₁₂ = {1, 4, 7, 8, 10, 12, 13, 17, 18, 19, 23, 24, 30, 33, 35, 36, 40, 41, 42, 44, 45}

r12 P12

0 1

1 6

2 3

3 9

4 8

5 1

6 0

total P11 = 28

A partir de là, vu les faibles effectifs, on peut abandonner les questions d’effectif 21. Ainsi, les 9 codes du pire des cas [r12 = 3 ; P12 = 9] sont facilement discriminés par la question

Q13 = {1, 6, 7, 9, 18, 21, 29, 32, 34, 40, 41} : codes possibles

après r₁₂ = 3 r13

1 4 21 29 37 41 4

1 6 18 31 34 40 5

1 7 16 32 34 40 5

1 8 21 26 34 41 4 1 10 21 24 29 48 3 4 5 9 36 37 41 2 4 6 10 32 37 42 2 4 12 15 27 31 36 0 5 9 10 24 36 48 1 Une quatorzième question trouvera facilement le code.

 Pourquoi dans les premières questions l’effectif 21 est-il le meilleur choix ? Un bon effectif d’une question Q devra donner un tableau tel que celui-ci :

Réponse nombre de codes

(7)

0 p0

1 p1

2 p₂

3 p3

4 p₄

5 p5

6 p6

dans lequel les variations entre les pi seront aussi faibles que possibles ([Pour minimiser le pire des cas].

L’idéal serait que tous les pi soient égaux !

Or intuitivement, les réponses les plus fréquentes sont r = 2, 3 ou 4.

Soit a le cardinal de Q1.

On a : p2 = C (a, 2)  C (49 – a, 4) = a (a – 1)  (49 – a) (48 – a) (47 – a) (46 – a) / 48 p₃ = C (a, 3)  C (49 – a, 3) = a (a – 1) (a – 2)  (49 – a) (48 – a) (47 – a) / 36 p₄ = C (a, 4)  C (49 – a, 2) = a (a – 1) (a – 2) (a – 3)  (49 – a) (48 – a) / 48 On aura p2 = p3 si (46 – a) / 48 = (a – 2) / 36 c’est à dire 7 a = 146 donc a  20,9.

De même on aura p3 = p4 si (47 – a) / 36 = (a – 3) / 48 c’est à dire 7 a = 197 donc a  28,1.

Mais on a vu que l’effectif d’une question peut être supposé inférieur ou égal à 24 sans dommage.

a = 21 est donc le meilleur choix pour q₁.

 Il n’y aurait rien d’étonnant à l’existence d’une stratégie en 13 questions. Mais il faut jouer fin ! De toutes façons, on ne peut pas descendre en dessous de 9 questions car on n’a à chaque fois que 7 réponses possibles, et ln (C(49,6)) / ln(7)  8,45.

 Une généralisation.

Notons M(n, p) le nombre minimal de questions pour trouver un code composé de p "bons numéros"

choisis parmi n entiers [n  p].

Ci-dessous est le tableau des valeurs M (n, p) estimées.

n ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

q=1 ⁰ ¹ ² ² ³ ³ ³ ³ ⁴ ⁴ ⁴ ⁴ ⁴ ⁴ ⁴ ⁴ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ q=2 ⁰ ² ³ ³ ⁴ ⁴ ⁴ ⁴ ⁵ ⁵ ⁵ ⁵ ⁶ ⁶ ⁶ ⁶ ⁶ ⁶ ⁶ ⁷ ⁷ ⁷ ⁷ ⁷ ⁷ q= 3 ⁰ ² ³ ⁴ ⁴ ⁵ ⁵ ⁵ ⁶ ⁶ ⁶ ⁷ ⁷ ⁷ ⁷ ⁸ ⁸ ⁸ ⁸ ⁸ ⁹ ⁹ ⁹ ⁹

q=4 ⁰ ³ ⁴ ⁴ ⁵ ⁵ ⁶ ⁶ ⁷ ⁷ ⁸ ⁸ ⁸ ⁹ ⁹ ⁹ ⁹

q=5 ⁰ ³ ⁴ ⁵ ⁵ ⁶ ⁶

q=6 ⁰ ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁶

q=7 ⁰ ³ ⁴ ⁵ ⁶

q=8 ⁰ ⁴ ⁵ ⁶

q=9 ⁰ ⁴ ⁵

Si les valeurs M (n, 1) de la première ligne sont évidentes, pour les lignes suivantes je ne garantis pas les résultats. Je n’ai des certitudes que pour des cas isolés.

Si on exclut les 0, chaque colonne est symétrique puisque M (n, p) = M (n, n  p) [Trouver les p bons numéros équivaut à trouver les n  p mauvais].

Les courbes en noir gras séparent les domaines dans lesquels M (n, p) a une valeur constante.

Cela peut aider à estimer un résultat.