A2846. 7 et les rationnels
Sait-on trouver :
- 2 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 3 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 4 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ? - 5 nombres rationnels > 0 dont la somme et le produit sont égaux à 7 ?
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
On se demande si, étant donné un entier 𝑛, on peut trouver 𝑛 nombres rationnels 𝑥1, … , 𝑥𝑛> 0 tels que : 𝑥1× … × 𝑥𝑛= 𝑥1+ ⋯ + 𝑥𝑛= 7
Cas 𝑛 = 1, 3, 4
On vérifie aisément que les solutions rationnelles positives suivantes fonctionnent.
- pour 𝑛 = 1, 𝑥1= 7.
- pour 𝑛 = 3, (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (7 6⁄ , 4 3⁄ , 9 2⁄ ) - pour 𝑛 = 4, (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, x4) = (7 6⁄ , 4 3⁄ , 3 2⁄ , 3)
Cas 𝑛 = 2
S’ils existent, les rationnels 𝑥1 et 𝑥2 sont solutions de :
𝑥2− 7𝑥 + 7 = 0 ⇔ 𝑥 =7 ± √21 2 Or √21 est irrationnel, ce qui contredit cette hypothèse.
Il n’existe donc pas de solutions rationnelles positives pour 𝑛 = 2.
Cas 𝑛 ≥ 5
Par concavité du logarithme, on a :
(𝑥1× … × 𝑥𝑛)1⁄𝑛≤1
𝑛(𝑥1+ ⋯ + 𝑥𝑛) 71⁄𝑛≤7
𝑛 Posons 𝑓: 𝑥 ↦ 7 (𝑥7)𝑥. L’inégalité devient :
𝑓(𝑛) ≤ 1
La fonction 𝑓 est croissante, par produits et compositions de fonctions élémentaires croissantes.
On a 55= 3125 > 74= 2401 ⟹ 𝑓(5) > 1 ⟹ ∀𝑛 ≥ 5, 𝑓(𝑛) > 1
Une contradiction. Si 𝑛 ≥ 5, il n’existe pas de solutions réelles 𝑥1, … , 𝑥𝑛> 0.
A fortiori, il n’existe donc pas de solutions rationnelles positives pour 𝑛 ≥ 5.
