H160– A la chaîne et en boucle
On considère la liste (L) des cinquante premiers nombres premiers 2,3,5... 227,229.
Q₁ Prouver qu’on sait trouver dix nombres premiers distincts p₁, p₂... p₁₀ choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2pi et du suivant pi+1 est un carré parfait mi² pour i = 1,2,..,9 (i.e 2pi + pi+1 = mi²)
Pour les plus courageux : déterminer la plus longue suite de k nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que 2pi + pi+1 = mi² pour i = 1,2…k – 1.
Q₂ Prouver qu’on sait trouver huit nombres premiers distincts q₁, q₂…q₈ choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2qi
et du suivant qi+1 est un carré parfait ni² pour i = 1,2,..,8 (i.e 2pi + pi+1 = ni² et par convention, p₉ = p₁)
Pour les plus courageux : déterminer le plus grand nombre possible k de nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que 2pi + pi+1 = ni² pour i = 1,2…k avec par convention pk+1 = p₁.
Solution proposée par Patrick Gordon Q₁
Dans le graphe à 50 sommets pi = 2, 3, 5... 227, 229 où il y a un arc de pi à pj si 2pi + pj est un carré parfait mij², il s'agit de trouver un chemin hamiltonien de longueur 10.
On détermine aisément que ce graphe a 94 arcs. Il n'est donc pas question de le dessiner; il sera figuré par sa matrice d'incidence (aij = 1 si 2pi + pj est un carré parfait, = 0 sinon). En tâtonnant sur ladite matrice, on trouve sans trop de peine une solution, comme par exemple :
pi 199 2 5 71 83 3 19 11 59 107 2pi + pi+1 = mi² 400 9 81 225 169 25 49 81 225
mi 20 3 9 15 13 5 7 9 15
Q₂
Il s'agit cette fois de trouver un circuit1 hamiltonien de longueur 8. On procède de la même manière avec la même matrice d'incidence. Voici une solution :
pi 3 19 43 139 83 59 107 11 3
2pi + pi+1 = mi² 25 81 225 361 225 225 225 25
mi 5 9 15 19 15 15 15 5
1 c’est-à-dire un chemin fermé
