N = p ×× p a Exercices  Nombres Premiers TS spécialité Maths

Exercices  Nombres Premiers TS spécialité Maths Déterminer à l'aide des divisions successives (cf cours 1) propriété) si les entiers suivants sont premiers ou pas : 97, 109, 117, 271, 323, 401, 527, 719.

Soit a et b deux entiers naturels non nuls.

1. Montrer que a ⁴ 4 b ⁴ =a ² 2 b ²  ² – 4 a ² b ² . 2. A quelles conditions a ⁴ 4 b ⁴ est-il premier ?

Dans les Inédits de Marcel Pagnol, l' écrivain indique que, pour tout n entier impair n1 , le nombre N = n  n 2 n  n 2 est premier. Qu'en pensez-vous ?

Vérifier ce résultat dû à Euler (1772)

" le nombre n ² n41 est premier pour n=0,1,2 ,...,39 ."

Et pour n=40 ?

Comment étudier ce dernier cas sans la calculatrice ? On note n!=1×2×3××n et n! se lit "factorielle n "

Est-ce que le nombre 2011 est un diviseur de 2010! ?

Soit n un entier donné  n 1  . Montrer que la liste suivante comporte n entiers naturels consécutifs dont aucun n'est premier : n1! 2 ; n 1! 3 ; ... ; n1!n ; n1!n 1 .

Nombres de Mersenne

Pour n1 , le n-ième nombre de Mersenne est le nombre M _n = 2 ⁿ – 1 1. Quels sont les nombres premiers parmi les nombres M _n pour n6 ?

2. Montrer que, si d est un diviseur de n , M _n est divisible par 2 ^d – 1 . En déduire que si M _n est premier, alors n est premier.

3. Si p est premier, M _p est-il également premier ?

4. Montrer que, si a ⁿ – 1 est premier, alors nécessairement a=2 et n est premier.

De la forme 4 n3

Soit q un nombre premier tel que q5 et 5×7××q le produit de tous les nombres premiers entre 5 et q . On pose N =2 ² ×5×7××q3 .

1. Soit p un nombre premier divisant N . Montrer que p  q et que p est de la forme 4 n1 ou 4 n3 .

2. Soit N = p ₁ ^

×× p _r ^

la décomposition de n en facteurs premiers.

Montrer qu'il existe k 1  k  r  tel que p _k soit de la forme 4 n3 .

3. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4 n3 .

2009©My Maths Space Page 1/1 1

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