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Travail Maison 3 TS : spécialité Maths

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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Travail Maison 3 TS : spécialité Maths

2005=1

4

1

4

1

4

3

4

 5

4

6

4

On se propose de démontrer qu'il est impossible de trouver six entiers naturels non nuls n

1

, n

2

, n

3

, n

4

, n

5

et n

6

distincts ou non tels que

2015=n

14

n

24

n

34

n

44

n

54

n

64

.

a. Calculer 7

4

. En déduire que chacun des entiers n

1

, n

2

, n

3

, n

4

, n

5

et n

6

est strictement inférieur à 7 .

b. Calculer les restes dans la division par 16 de 1

4

, 2

4

, 3

4

, 4

4

, 5

4

, 6

4

et 2015 .

c. Conclure.

CORRECTION

On suppose que 2015=n

14

n

24

n

34

n

44

n

54

n

64

a. 7

4

=2401 , si l'un des entiers n

i

( i∈{1,2,3,4,5,6}) vaut 7 alors n

14

n

24

n

34

n

44

n

54

n

64

2401 et donc la somme ne peut être égale à 2015 On peut donc conclure que chaque n

i

est strictement inférieur à 7.

b. 1

4

116 ; 2

4

016 ; 3

4

≡1 16 ; 4

4

0 16 ; 5

4

≡116 et 6

4

016 .

Puisque tous les n

i

sont distincts ou non et strictement inférieurs à 7, compte-tenu des propriétés sur les congruences :

n

14

n

24

n

34

n

44

n

54

n

64

≡ r16r est l'un des nombres entiers 0,1,2,3,4,5 ou 6.

Or 2015 15 16 

donc 2015 ne peut pas être égal à n

14

n

24

n

34

n

44

n

54

n

64

sinon il aurait

le même reste dans la division par 16.

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