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Correction Travail maison 1 Spécialité MATHS

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Travail maison 1 Spécialité MATHS

Montrer que, pour tout n ∈ℕ, 8

n

3

3n

est un multiple de 19.

Correction

 En effectuant un raisonnement par récurrence.

On pose P

n

: 8

n

3

3n

est un multiple de 19. n ∈ ℕ

Initialisation : P

0

est-elle vraie ? 8

0

3

3×0

=1 1=0 et 0 est un multiple de 19. Ainsi P

0

est vraie.

Hérédité : Supposons que P

k

est vraie pour un certain k entier naturel. La propriété est-elle vraie au rang suivant ? C'est à dire P

k1

est-elle vraie ?

8

k1

3

3k1

= 8×8

k

3

3k

× 3

3

=8×8

k

27 ×3

3k

. A ce stade, il faut faire apparaître l'expression 8

k

3

3k

qui par hypothèse est un multiple de 19.

8×8

k

27×3

3k

=8×8

k

27×3

3k

 27×8

k

27×8

k

=8

k

×8 27 27× 3

3k

8

k

 En résumé

8

k1

3

3k1

=– 19× 8

k

27×3

3k

8

k

multiples de 19 : la somme de deux multiples de 19 est un multiple de 19 (cours) ainsi P

k1

est vraie.

Conclusion : pour tout n ∈ ℕ, 8

n

3

3n

et un multiple de 19.

 En utilisant les congruences.

27 ≡8 mod 19 ⇔ 3

3

≡8 mod 19 ⇔ 3

3n

≡8

n

mod 19 ⇔ 3

3n

8

n

0 19

cela prouve que , pour tout n ∈ ℕ, 8

n

3

3n

et un multiple de 19.

2009©My Maths Space

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