Correction du devoir maison n˚1

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Correction du devoir maison n˚1

Exercice 1 : Si la somme de trois complexes de module 1 vaut 1, l’un des trois est 1.

Soient a, b et c trois nombres complexes de module 1 tels que a+b+c = 1. Le but de cet exercice est de d´emontrer que l’un au moins des trois nombres vaut 1.

1. Montrer que 1 a+1

b +1 c = 1.

2. En d´eduire queab+bc+ac=abc.

3. Montrer que (1−a)(1−b)(1−c) = 0 et conclure.

Correction

1. On rappelle que si z est un nombre complexe de module 1, alors il existe un unique θ∈]−π;π] tel que z=e^iθ (forme exponentielle dez). Ainsi, il existeθa, θb, θc∈]−π;π] tels que :

a=e^iθa b=e^iθb c=e^iθc.

On a 1

a+1 b +1

c = 1

e^iθa + 1 e^iθb + 1

e^iθc

= e^−iθa+e^−iθb+e^−iθc ( 1

e^iθ =e^−iθ pour toutθ∈R)

= e^iθa+e^iθb+e^iθc (e^−iθ=e^iθ pour toutθ∈R)

= a+b+c

= a+b+c (propri´et´es alg´ebriques de la conjugaison complexe)

= 1 (a+b+c= 1)

= 1

2. En multipliant chacun des deux membres de l’´egalit´e obtenue en 1 par abc, on a : ab+bc+ac=abc.

3. On commence par d´evelopper (1−a)(1−b)(1−c).

(1−a)(1−b)(1−c) = (1−a−b+ab)(1−c)

= (1−a−b+ab−c+ac+bc−abc)

= 1−(a+b+c)

| {z }

0

+ab+ac+bc−abc

| {z }

0 (cf. 2.)

= 0

De (1−a)(1−b)(1−c) = 0, on d´eduit qu’au moins un des trois facteurs (1−a), (1−b), (1−c) est nul, i.e. qu’un moins un des trois nombres a,b,c vaut 1.

Exercice 2 : Sph`ere inscrite dans un t´etra`edre.

On fixe un rep`ere orthonorm´e de l’espace (O;−→i;−→j;−→k). Soient les quatre points de l’espace A(1; 2; 0) B(2; 2; 0) C(1; 3; 0) D(1; 2; 1).

1. Placer les points A,B,C,D sur une figure et repr´esenter le t´etra`edreABCD.

2. D´emontrer que le t´etra`edreABCDest rectangle enA, i.e. que les anglesBAC,\ \BADet\CADsont droits.

3. ´Ecrire des ´equations cart´esiennes des plans suivants :

(a) le planP passant parAet orthogonal `a la droite (BC) ; (b) le planQpassant parAet orthogonal `a la droite (DC) ;

(c) le planRpassant parAet orthogonal `a la droite (BD).

4. Montrer que les plans P, Q et R se coupent suivant une droite, not´eeD, dont on donnera un vecteur directeur.

5. D´emontrer que la droiteDest orthogonale au plan (BCD).

6. Soit Π le plan d’´equation cart´esienne (3 +√

3)x−2√

3y+ (3 +√

3)z−6 + 2√ 3 = 0.

(a) Montrer que le plan Π contient la droite (BD).

(b) Montrer que les plansP,Q,Ret Π ont un unique point commun, not´e Ω.

(c) Montrer que Ω est situ´e `a ´egale distance des quatre faces du t´etra`edreABCD. (C’est donc le centre de la sph`ere inscrite dans le t´etra`edreABCD.)

Correction

1. Figure repr´esentant le t´etra`edreABCD.

−

→i

−

→k

−

→j

b

A

b

B

b

C

bD

2. On va d´emontrer que les vecteurs −−→AB et −→AC (respectivement−−→AB et −−→AD,−→AC et−−→AD) sont orthogonaux pour r´epondre `a la question pos´ee. Commen¸cons par calculer les coordonn´ees de ces diff´erents vecteurs dans la base (−→i ,−→j ,−→k) :

−−→AB(1; 0; 0) −→AC(0; 1; 0) −−→AD(0; 0; 1).

On a donc −−→AB =−→i, −→AC =−→j et −−→AD=−→

k. Comme la base (−→i ,−→j ,−→

k) est orthonorm´ee (en particulier orthogonale), on a bien : −−→AB⊥−→AC,−−→AB⊥−−→ADet−→AC ⊥−−→AD.

3. Commen¸cons par d´eterminer une ´equation cart´esienne du planP passant parAet orthogonal `a la droite (BC).

Le vecteur−−→BCa pour coordonn´ees (−1; 1; 0). Comme c’est un vecteur normal deP, un th´eor`eme du cours nous dit qu’il existe un r´eeldtel que

−x+y+d= 0 (1)

est une ´equation cart´esienne de P. Le point A appartient au plan P; ses coordonn´ees v´erifient donc l’´equation (1). On a donc

−1 + 2 +d= 0.

On en d´eduit que d=−1. Ainsi

−x+y−1 = 0 (2)

est une ´equation cart´esienne deP.

On proc`ede de mˆeme pour trouver une ´equation cart´esienne du plan Qpassant parAet orthogonal `a la droite (DC) et une ´equation cart´esienne du planRpassant par Aet orthogonal `a la droite (BD) et on obtient :

Q:y−z−2 = 0 (3)

R:−x+z+ 1 = 0 (4)

4. D’apr`es la question 3., un point M(x;y;z) de l’espace appartient `a P ∩ Q ∩ R si et seulement si ses coordonn´ees v´erifient les ´equations (2), (3) et (4).

P ∩ Q ∩ R=







M(x;y;z) :







−x + y = 1

y − z = 2

−x + z = −1







On cherche donc `a r´esoudre le syst`eme (S) :







−x + y = 1

y − z = 2

−x + z = −1 .

(S) ⇐⇒







−x + y = 1

y − z = 2

−y + z = −2 (L3−L1)

⇐⇒

−x + y = 1 y − z = 2

On a supprim´e la ligne L3, car elle est proportionnelle `a L2 (L3 = −L2). Le rang de (S) est donc 2.

Comme (S) poss`ede 3 inconnues, il y a 3−2 = 1 param`etre `a choisir. On posez=tcomme param`etre.

On en d´eduit que

P ∩ Q ∩ R=







M(x;y;z) : ∃t∈R







x= 1 +t y= 2 +t z=t





 .

On reconnaˆıt alors la repr´esentation param´etrique de la droite passant par A(1; 2; 0) et dirig´ee par le vecteur−→u(1; 1; 1). On a ainsi prouv´e queD=P ∩ Q ∩ Rest la droite passant parA(1; 2; 0) et dirig´ee par le vecteur−→u(1; 1; 1).

5. On commence par d´eterminer un vecteur normal au plan (BCD). Les vecteurs−−→BC(−1 : 1; 0) et−−→BD(−1; 0; 1) sont deux vecteurs (non colin´eaires) du plan (BCD). Par suite le vecteur

−

→n =−−→BC∧−−→BD(1×1−0×0

| {z }

1

; 0×(−1)−1×(−1)

| {z }

1

; −1×0−(−1)×1

| {z }

1

)

est orthogonal `a−−→BC et `a −−→BD; il est donc normal au plan (BCD). On a donc −→u =−→n et donc

−

→u //−→n .

On en d´eduit, d’apr`es le cours, que la droiteDest orthogonale au plan (BCD).

6. (a) Les points B(2; 2; 0) et D(1; 2; 1) appartiennent tous deux `a Π car leurs coordonn´ees respectives v´erifient l’´equation de Π. En effet

(3 +√

3)× 2 −2√

3× 2 + (3 +√

3)× 0 −6 + 2√

3 = 6 + 2√ 3−4√

3−6 + 2√ 3 = 0 et

(3 +√

3)× 1 −2√

3× 2 + (3 +√

3)× 1 −6 + 2√

3 = 3 +√ 3−4√

3 + 3 +√

3−6 + 2√ 3 = 0.

Un plan qui contient deux points distincts contient aussi toute la droite qui passe par ces deux points.

Ainsi le plan Π contient non seulement les points B etD, mais aussi toute la droite (BD).

(b) On a d´ej`a vu que P ∩ Q ∩ Rest une droite not´eeD, dont







x= 1 +t y= 2 +t z=t

est une repr´esentation param´etrique (de param`etret). On en d´eduit que l’ensemble cherch´eP ∩ Q ∩ R ∩Π co¨ıncide avecD ∩Π. En utilisant la repr´esentation param´etrique deDet l’´equation cart´esienne de Π connues, on a

D ∩Π =











M(x;y;z) : ∃t∈R











x= 1 +t y= 2 +t z=t (3 +√

3)x−2√

3y+ (3 +√

3)z= 6−2√ 3









 .

On ´etudie alors le syst`eme (S^′) :











x= 1 +t y= 2 +t z=t (3 +√

3)x−2√

3y+ (3 +√

3)z= 6−2√ 3

.

(S^′) ⇐⇒











x= 1 +t y= 2 +t z=t (3 +√

3)(1 +t)−2√

3(2 +t) + (3 +√

3)t= 6−2√ 3 On r´esout (L4) (en isolant l’inconnuet) pour obtenir (L4)⇐⇒t=1

2 +

√3

6 . On a donc

(S^′) ⇐⇒











x= 1 +t y= 2 +t z=t t= 1

2+

√3 6 .

⇐⇒ x=3 2 +

√3

6 ; y=5 2 +

√3

6 ; z=1 2 +

√3

6 ; t= 1 2 +

√3 6 .

De cette ´etude, on d´eduit que l’ensemble P ∩ Q ∩ R ∩Π =D ∩Π est r´eduit `a un point Ω qui a pour coordonn´ees

3 2 +

√3 6 ;5

2+

√3 6 ;1

2 +

√3 6

! .

(c) Le t´etra`edreABCD poss`ede 4 faces : (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD). Il s’agit de calculer les distancesd(Ω,(ABC)),d(Ω,(ABD)),d(Ω,(ACD)) etd(Ω,(BCD)) et de montrer qu’elles sont toutes

´egales. Pour cela on pense `a appliquer la formule du cours qui donne la distance d’un point `a un plan, connaissant une ´equation cart´esienne du plan et les coordonn´ees du point dans un rep`ere orthonorm´e.

On va d’abord d´eterminer une ´equation cart´esienne de chacun des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD).

Commen¸cons par donner une ´equation cart´esienne du plan (ABC). Les vecteurs −−→

AB(1; 0; 0) et

−→AC(0; 1; 0) sont deux vecteurs (non colin´eaires) du plan (ABC). Par suite le vecteur

−−→AB∧−→AC(0×0−1×0

| {z }

0

; 0×0−0×1

| {z }

0

; 1×1−0×0

| {z }

1

)

est orthogonal `a −−→AB et `a −→AC; il est donc normal au plan (ABC). Un th´eor`eme du cours nous dit alors qu’il existe un r´eeldtel que

z+d= 0 (5)

est une ´equation cart´esienne de (ABC). Le pointAappartient au planP; ses coordonn´ees v´erifient donc l’´equation (5). On a donc

0 +d= 0.

On en d´eduit que d= 0. Ainsi

z= 0 (6)

est une ´equation cart´esienne de (ABC)¹.

On applique la mˆeme m´ethode pour d´eterminer des ´equations cart´esiennes des plans (ABD), (ACD) et (BCD) et on obtient :

(ABD) :−y+ 2 = 0 (7)

(ACD) :x−1 = 0 (8)

(BCD) :x+y+z−4 = 0 (9)

En utilisant les ´equations (6), (7), (8) et (9), les coordonn´ees 3 2 +

√3 6 ;5

2+

√3 6 ;1

2 +

√3 6

!

du point Ω et le cours, on a

d(Ω,(ABC)) = 1 2+

√3 6

√

0²+ 0²+ 1² =1 2 +

√3 6

d(Ω,(ABD)) = −5

2−

√3 6 + 2

p0²+ (−1)²+ 0² =

−1

2−

√3 6

= 1 2+

√3 6

d(Ω,(ACD)) = 3 2 +

√3 6 −1

√

1²+ 0²+ 0² =1 2 +

√3 6

d(Ω,(BCD)) = 3 2 +

√3 6 +5

2 +

√3 6 +1

2 +

√3 6 −4

√

1²+ 1²+ 1² = 1 2 +

√3 2

√

3 = 1

2√ 3+

√3 2√

3 =

√3 6 +1

2 La d´emonstration est ainsi achev´ee.

Probl`eme : Une sym´etrie axiale ou un exemple d’application lin´eaire.

SoitE l’ensemble des vecteurs du plan. On le munit d’une base orthonorm´ee (−→i ,→−j). E se trouve ainsi ´equip´e d’un produit scalaire (cf. cours) v´erifiant notamment les propri´et´es

−

→i .−→i = 1 −→j .−→j = 1 −→i .−→j = 0.

On note−→s le vecteur d´efini par

−

→s =−→i −−→j .

Le but de ce probl`eme est d’´etudier l’applicationσ:E → E d´efinie par σ(−→u) = (−→u .−→s)−→s − −→u pour tout−→u ∈ E.

Partie A : Calculs de quelques images de vecteurs par l’applicationσ.

1. Calculer le produit scalaire−→i .−→s et en d´eduire queσ(−→i) =−−→j. 2. Calculer le produit scalaire−→j .−→s et en d´eduire queσ(−→j) =−−→i. 3. V´erifier que−→s .−→s = 2 et en d´eduire que σ(−→s) =−→s.

1. On aurait pu directement remarquer que les cotes des pointsA,BetCsont toutes nulles et voir ainsi directement quez= 0 est une ´equation du plan (ABC).

Correction

Pour mener `a bien les calculs demand´es, on fera un usage intensif des propri´et´es alg´ebriques du produit scalaire.

On les rappelle.

Propri´et´es alg´ebriques du produit scalaire : Si −→u,−→v et −→w sont des vecteurs et siλest un nombre r´eel, on a :

(A) −→u .−→v =−→v .−→u

(B) −→u .(−→v +−→w) =−→u .−→v +−→u .−→w et (−→u +−→v).−→w =−→u .−→w+−→v .−→w (C) (λ−→u).−→v =−→u .(λ−→v) =λ(−→u .−→v)

1. On a

−

→i .−→s =−→i .(−→i −−→j) =−→i .−→i −−→i .−→j = 1−0 = 1, d’o`u

σ(−→i) = (−→i .−→s)−→s −−→i =−→s −−→i =−→i −−→j −−→i =−−→j . 2. On a

−

→j .−→s =−→j .(−→i −−→j) =−→j .−→i −−→j .−→j = 0−1 =−1, d’o`u

σ(−→j) = (−→j .−→s)−→s −−→j =−−→s −−→j =−−→i +−→j −−→j =−−→i . 3. On a

−

→s .−→s = (−→i −−→j).(−→i −−→j) =−→i .−→i −−→i .−→j −−→j .−→i +−→j .−→j = 1 + 0 + 0 + 1 = 2, d’o`u

σ(−→s) = (−→s .−→s)−→s − −→s = 2−→s − −→s =−→s .

Partie B : Propri´et´es de l’applicationσ.

1. D´emontrer les deux assertions suivantes.

(a) Pour tout−→u ,−→v ∈ E, σ(−→u +−→v) =σ(−→u) +σ(−→v).

(b) Pour toutλ∈R,−→u ∈ E, σ(λ−→u) =λ σ(−→u).

Terminologie : L’application σ v´erifiant les propri´et´es (a) et (b) ci-dessous, on dit queσest une applica- tion lin´eaire.

2. (a) D´emontrer que pour tout −→u ∈ E, σ◦σ(−→u) =−→u.

Rappel : Par d´efinition,σ◦σ(−→u) =σ(σ(−→u))pour tout−→u ∈ E. (b) D´eduire de (a) que l’applicationσest injective.

Rappel : L’application σ est injective si et seulement si pour tout−→u ,−→v ∈ E, σ(−→u) =σ(−→v) =⇒ −→u =−→v.

(c) D´eduire de (a) que l’applicationσest surjective (et donc bijective d’apr`es (b)).

Rappel : L’application σ est surjective si et seulement si pour tout−→w ∈ E, il existe−→u ∈ E tel que σ(−→u) =−→w.

3. Montrer que pour tout−→u ∈ E, ||σ(−→u)||=|| −→u||.

Indication : On pourra utiliser la question 3. de la partie A et la formule du cours

||−→v||²=−→v .−→v, si−→v ∈ E. Correction

A nouveau les propri´et´es alg´ebriques du produit scalaire vont ˆetre tr`es utiles dans cette partie.`

1. (a) Soient −→u ,−→v ∈ E.

σ(−→u +−→v) = ((−→u +−→v).−→s)−→s −(−→u +−→v)

= (−→u .−→s +−→v .−→s)−→s − −→u − −→v (Prop. (B) du produit scalaire)

= (−→u .−→s)−→s + (−→v .−→s)−→s − −→u − −→v

= (−→u .−→s)−→s − −→u

| {z }

σ(−→ u)

+ (−→v .−→s)−→s − −→v

| {z }

σ(−→ v)

(b) Soientλ∈R,−→u ∈ E.

σ(λ−→u) = ((λ−→u).−→s)−→s −λ−→u

= (λ(−→u .−→s))−→s −λ−→u (Prop. (C) du produit scalaire)

= λ((−→u .−→s)−→s)−λ−→u

= λ((−→u .−→s)−→s − −→u

| {z }

σ(→− u)

)

2. (a) Soit−→u ∈ E.

σ◦σ(−→u) = σ(σ(−→u))

= σ((−→u .−→s)−→s − −→u)

= (−→u .−→s)σ(−→s)−σ(−→u) (cf. 1.(a) et 1.(b))

= (−→u .−→s)−→s −((−→u .−→s)−→s − −→u) (cf. question 3. de la partie A :σ(−→s) =−→s)

= −→u . (b) Soient−→u ,−→v ∈ E

σ(−→u) =σ(−→v) =⇒ σ(σ(−→u)) =σ(σ(−→v)) (Deux ´el´ements ´egaux ont mˆeme image par une application)

=⇒ σ◦σ(−→u) =σ◦σ(−→v)

=⇒ −→u =−→v (cf. question 2.(a)) L’applicationσest donc injective.

(c) On doit d´emontrer que quel que soit−→w ∈ E, l’´equation (E^→−w) σ(−→u) =−→w d’inconnue−→u ∈ E poss`ede une solution.

D’apr`es 2.(a),σ(σ(−→w)) =−→w. Ainsi, en posant−→u =σ(−→w), on aσ(−→u) =−→w. L’´equation (E<sup>−→</sup>w) poss`ede donc une solution (−→u =σ(−→w)) et ce, quel que soit−→w ∈ E.

Par cons´equent, l’applicationσ est surjective.

3. Soit−→u ∈ E. On va d´emontrer que||σ(−→u)||²=|| −→u||², en utilisant l’indication donn´ee. On en d´eduira que

||σ(−→u)||=|| −→u||car une norme est un nombre r´eel positif ou nul.

||σ(−→u)||² = σ(−→u).σ(−→u)

= ((−→u .−→s)−→s − −→u).((−→u .−→s)−→s − −→u)

= (−→u .−→s)²−→s .−→s −2(−→u .−→s)(−→u .−→s) +−→u .−→u (Prop. (A), (B) et (C) du produit scalaire)

= 2(−→u .−→s)²−2(−→u .−→s)²+−→u .−→u (cf. question 3. de la partie A :−→s .−→s = 2)

= ||−→u||² (d’apr`es la relation fondamentale :−→u .−→u =||−→u||²)

Partie C : Matrice de l’application lin´eaire σrelativement `a la base (−→i ,−→j).

1. (a) Donner les coordonn´ees de−→i et −→j dans la base (−→i ,−→j).

(b) D´eduire de la partie A, les coordonn´ees respectives x1

y1

et

x2

y2

deσ(−→i) et σ(−→j) dans la base (−→i ,−→j).

(c) D´eterminer l’unique matriceA=

a b c d

telle queA 1

0

= x1

y1

et A

0 1

= x2

y2

. Terminologie : A est appel´ee matrice de l’application lin´eaireσrelativement `a la base(−→i ,−→j).

2. Soit−→u ∈ E, soit x

y

ses coordonn´ees dans la base (−→i ,−→j) et soit x^′

y^′

les coordonn´ees deσ(−→u) dans la base (−→i ,−→j).

(a) En utilisant le fait queσ est une application lin´eaire (i.e. queσ poss`ede les propri´et´es (a) et (b) de la question 1. de la partie B), d´eterminerx^′ ety^′ en fonction dexety.

(b) V´erifier queA x

y

= x^′

y^′

.

Remarque : On a donc d´emontr´e le r´esultat suivant.

Si les coordonn´ees de−→u sont x

y

dans la base(−→i ,−→j), alors σ(−→u) a pour coordonn´eesA

x y

dans la base(−→i ,−→j).

La seule connaissance de la matrice A permet donc de calculer les images de tous les vecteurs du plan par l’application σ.

3. (a) CalculerA 1

−1

.

(b) D´eduire de 2.(b) et de 3.(a) un r´esultat d´ej`a obtenu dans la partie A.

Indication : On pourra commencer par interpr´eter 1

−1

comme les coordonn´ees d’un certain vec- teur du plan dans la base (−→i ,−→j).

4. D´eduire de 2.(b) les coordonn´ees des vecteursσ(3−→i + 2−→j) et σ(−−→i + 4−→j) dans la base (−→i ,−→j).

5. SoitO un point du plan.

(a) Faire une figure sur laquelle on dessinera les repr´esentants d’origine O des vecteurs −→i, −→j, −−→i−j, 3−→i + 2−→j, −−→i + 4−→j ainsi que ceux de leurs images parσ.

(b) Qu’inspire cette figure quant `a l’applicationσ? 6. Soit−→u ∈ E. D´eduire de 2.(b) que

σ(−→u) =−→u ⇐⇒ −→u //−→s . 7. (a) D´emontrer que pour tout

x^′ y^′

∈R², il existe un unique x

y

∈R² tel que A x

y

= x^′

y^′

. (b) D´eduire de 2.(b) et de 7.(a) un r´esultat d´ej`a obtenu dans la partie B.

Correction

1. (a) Comme−→i = 1 −→i + 0 −→j, les coordonn´ees de −→i dans la base (−→i ,−→j) sont 1

0

. Comme−→j = 0 −→i + 1 −→j, les coordonn´ees de −→j dans la base (−→i ,−→j) sont

0 1

.

(b) D’apr`es la partie A,

σ(−→i) =−−→j = 0 −→i + −1 −→j σ(−→j) =−−→i = −1 −→i + 0 −→j .

Les coordonn´ees respectives de σ(−→i) etσ(−→j) dans la base (−→i ,−→j) sont donc : 0

−1

et

−1 0

. Par suite :

x1= 0 ; y1=−1 ; x2=−1 ; y2= 0.

(c) On commence par calculer A

1 0

=

a b c d

1 0

= a

c

A 0

1

=

a b c d

0 1

= b

d

. Par suite

A 1

0

= x1

y1

etA

0 1

= x2

y2

⇐⇒

a c

= x1

y1

et

b d

= x2

y2

⇐⇒











a=x1= 0 b=x2=−1 c=y1=−1 d=y2= 0

(d’apr`es 1.(b))

La matriceAcherch´ee est donc

0 −1

−1 0

. 2. (a) Comme

x y

sont les coordonn´ees de−→u dans la base (−→i ,−→j) On a

−

→u =x−→i +y−→j . (10) Pour d´eterminer les coordonn´ees

x^′ y^′

de σ(−→u) dans la base (−→i ,−→j), on cherche `a ´ecrire σ(−→u) comme une combinaison lin´eaire de la famille de vecteurs (−→i ,−→j).

σ(−→u) = σ(x−→i +y−→j) (cf. (10))

= x σ(−→i) +y σ(−→j) (cf. 1.(a) et 1.(b) de la partie B)

= −x−→j −y−→i (cf. 1. et 2. de la partie A) On a donc

σ(−→u) = −y −→i + −x −→j . (11) De (11), on d´eduit que les coordonn´eesσ(−→u) dans la base (−→i ,−→j) sont

−y

−x

. On a donc x^′=−y et y^′=−x.

(b) Un calcul ´el´ementaire montre que : A

x y

=

0 −1

−1 0 x y

= −y

−x

= x^′

y^′

.

3. (a) A 1

−1

=

0 −1

−1 0 1

−1

= 1

−1

.

(b) Remarquons d’abord que comme−→s = 1−→i + -1−→j, les coordonn´ees de−→s dans la base (−→i ,−→j) sont 1

−1

. De 2.(b) et de 3.(a), on d´eduit donc que les coordonn´ees de σ(−→s) dans la base (−→i ,−→j) sont 1

−1

, i.e. σ(−→s) =−→s. On retrouve ainsi le r´esultat de la question 3. de la partie A.

4. D’apr`es 2.(b), les coordonn´ees du vecteurσ(3−→i + 2−→j) dans la base (−→i ,−→j) sont A

3 2

=

0 −1

−1 0 3 2

= −2

−3

et celles de σ(−−→i + 4−→j) toujours dans la base (−→i ,−→j) sont A

−1 4

=

0 −1

−1 0

−1 4

= −4

1

. 5. SoitO un point du plan.

(a) Figure sur laquelle on a plac´e les repr´esentants d’origine O des vecteurs −→i, −→j, −−→i−j, 3−→i + 2−→j,

−−→i + 4−→j ainsi que ceux de leurs images parσ.

−

→u = 3−→i + 2−→j

−

→v =−−→i + 4−→j

−

→j

−

→i

b

O D

σ(−→i) σ(−→j) −→s

−

→u

σ(−→u)

−

→v

σ(−→v)

(b) On peut, `a raison, interpr´eterσcomme la sym´etrie axiale d’axe la droiteDpassant parO et dirig´ee par−→s.

6. Soit −→u ∈ E de coordonn´ees x

y

dans la base (−→i ,−→j). Alors d’apr`es 2.(a) ou 2.(b), les coordonn´ees de σ(−→u) dans la base (−→i ,−→j) sont

−y

−x

.

Preuve de =⇒ : Si −→u = σ(−→u), alors les coordonn´ees de ces deux vecteurs dans la base (−→i ,−→j) sont identiques, i.e.

x=−y.

Par suite

−

→u =x−→i +y−→j =−y−→i +y−→j =−y(−→i −−→j

| {z }

−

→s

).

Donc−→u //−→s.

Preuve de⇐= : Si−→u //−→s, alors il existeλ∈Rtel que−→u =λ−→s. On a donc σ(−→u) = σ(λ−→s)

= λσ(−→s) (cf. 1.(b) de la partie B)

= λ−→s (cf. 3. de la partie A :σ(−→s) =−→s)

= −→u . 7. (a) Soit

x^′ y^′

∈R². On doit r´esoudre l’´equation de param`etresx^′, y^′∈R:

(Ex^′,y^′) A x

y

= x^′

y^′

d’inconnue x

y

∈R²

(Ex′,y′) ⇐⇒

0 −1

−1 0 x y

= x^′

y^′

⇐⇒

−y

−x

= x^′

y^′

⇐⇒ x=−y^′ et y=−x^′ L’´equation (Ex^′,y^′) admet bien une unique solution :

−y^′

−x^′

. (b) Soit−→w un vecteur du plan de coordonn´ees

x^′ y^′

dans la base (−→i ,−→j). Si −→u est un vecteur du plan de coordonn´ees

x y

dans la base (−→i ,−→j), alors :

σ(−→u) =−→w ⇐⇒ σ(−→u) et−→w ont les mˆemes coordonn´ees dans la base (−→i ,−→j).

⇐⇒ A x

y

= x^′

y^′

(d’apr`es 2.(b)).

⇐⇒ Les coordonn´ees de−→u sont solutions de l’´equation (Ex^′,y^′).

En appliquant le r´esultat d´emontr´e `a la question 7.(a), on obtient alors que, quel que soit le vecteur

−

→w du plan, il existe un unique vecteur −→u du plan tel que σ(−→u) = −→w. L’application σ est donc bijective et on retrouve ainsi les r´esultats des questions 2.(b) et 2.(c) de la partie B.