1 Passer des ´ equations param´ etriques ` a l’´ equa- tion cart´ esienne d’un plan

1 Passer des ´ equations param´ etriques ` a l’´ equa- tion cart´ esienne d’un plan

1.1 Th´eor`eme. On suppose le planP donn´e par les ´equations param´etriques : x=a+αu+α⁰u⁰

y=b+βu+β⁰u⁰ z =c+γu+γ⁰u⁰

o`u les deux vecteurs V = (α, β, γ) et V<sup>0</sup> = (α, β, γ) sont non colin´eaires et o`u u, u⁰ sont des r´eels quelconques. Alors, le plan est l’ensemble des points (x, y, z) qui v´erifient :

(∗) (βγ⁰−β⁰γ)(x−a) + (γα⁰−γ⁰α)(y−b) + (αβ⁰−α⁰β)(z−c) = 0.

D´emonstration. Pour voir que les points de P v´erifient (∗) on consid`ere le d´eterminant :

α α⁰ α β β⁰ β γ γ⁰ γ

Ce d´eterminant est ´evidemment nul et, si on le d´eveloppe par rapport `a sa derni`ere colonne, on a (βγ⁰−β⁰γ)α+ (γα⁰−γ⁰α)β+ (αβ⁰−α⁰β)γ = 0, ce qui donne la moiti´e du r´esultat cherch´e¹. Pour l’autre on remplace la derni`ere colonne du d´eterminant parα⁰, β⁰,γ⁰.

Dire que ces mineurs (βγ⁰ −β⁰γ et les autres) sont non tous nuls c’est dire que les vecteurs V etV⁰ sont non colin´eaires.

R´eciproquement, si on a X = (x, y, z) v´erifiant (∗), il s’agit de voir qu’il s’´ecrit X =uV +u⁰V⁰. Mais, il est clair que V = (α, β, γ) et V⁰ = (α⁰, β⁰, γ⁰) v´erifient (∗) (toujours le d´eterminant nul), donc aussi toutes les combinaisons uV +u⁰V⁰. Comme ces vecteurs sont non colin´eaires, et comme (∗) est non nulle, les solutions de l’´equation (∗) forment un espace vectoriel de dimension 2 et on a ainsi toutes les solutions.

Si on ne veut pas parler d’espace vectoriel on peut raisonner comme suit.

Soit (x, y, z) v´erifiant (∗) (not´eeA(x−a)+B(x−b)+C(x−c) = 0). Supposons par exemple C =αβ⁰−α⁰β 6= 0. Alors on peut trouveru, u⁰ tels que l’on ait x=αu+α⁰u⁰ ety=βu+β⁰u⁰. Posonst =γu+γ⁰u⁰. Par le sens direct on a A(x−a) +B(y−b) +C(t−c) = 0. On en d´eduit, par diff´erence z=t, d’o`u le r´esultat.

1On peut d’ailleurs faire le calcul directement sans parler de d´eterminant.

2 Equations d´ ´ efinissant le mˆ eme plan

2.1 Th´eor`eme. Soient P, P⁰ deux plans d´efinis par des ´equations ax+by+ cz+d= 0 et a⁰x+b⁰y+c⁰z+d⁰ = 0 avec (a, b, c) et (a⁰, b⁰, c⁰) non nuls. On a P = P⁰ si et seulement il existe λ ∈ R tel que l’on ait a⁰ = λa, b⁰ = λb, c⁰ =λc, d⁰ =λd.

D´emonstration. Il est clair que la condition est suffisante. R´eciproquement, supposons par exemple a 6= 0 et posons λ = a⁰/a, donc a⁰ = λa. Alors, si (x, y, z) est dans P, il v´erifie aussi l’´equation :

(]) (b⁰−λb)y+ (c⁰ −λc)z+ (d⁰−λd) = 0.

En ´ecrivant que les points (−d/a,0,0), (−b−d

a , 1,0) et (−c−d

a , 0,1) qui sont dansP v´erifient aussi (]) on voit successivement qu’on ad⁰ =λd,b⁰ =λb, c⁰ =λc.