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Travail maison 1

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Academic year: 2022

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Spé Travail maison 1 2011-2012

EXERCICE 1 :

1. Vérifier que 10≡ −1(11) et démontrer que :

• sinest un entier naturel pair, alors 10n≡1(11) ;

• sinest un entier naturel impair, alors 10n≡ −1(11) ; 2. L’entier naturelN s’écrit en numération décimaleapap

−1. . . a2a1a0. Démontrer que : N ≡a0−a1+a2−. . .+ (−1)p−1a

p−1+ (−1)pa

p(11)

3. En déduire qu’un entierN est divisible par 11si, et seulement si, la différence entre la somme des chiffres d’indice pair et celle des chiffres d’indice impair dans son écriture en numération décimale est divisible par 11.

4. Application : examiner la divisibilité par 11 des entiers 9240, 17523 et 2951765.

EXERCICE 2 :

Déterminer tous les entiers naturelsa(a6= 1) et ntels que :

a|42n+ 37 et a|7n+ 4.

EXERCICE 3 :

Démontrer par récurrence que, pour toutn∈N, 52n−4n est divisible par 7.

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