Arithmétique des entiers

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Arithmétique des entiers

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Université d’Eleuthéria-Polites

Exercices Bruno Deschamps

Exercice.—Pour un réelxdonné, on appellepartie entière(resp. partie décimale) dexl’entier noté [x] (resp. le réel élément de [0,1[ noté{x}) et défini comme étant le plus grand entier relatif inférieur àx(resp. l’entier égal àx−[x]). Montrer les propositions suivantes :

a)x= [x]+{x}et, réciproquement, sin∈Zetd∈[0,1[ sont tels quex=n+dalorsn= [x] etd={x}. b) [x]≤x <[x] + 1 et, réciproquement, sin∈Zetel quen≤x < n+ 1 alorsn= [x].

b’)x−1<[x]≤xet, réciproquement, sin∈Zetel quex−1< n≤xalorsn= [x].

c) Sixeentier alors [x] =xet{x}= 0, et, réciproquement, si l’une de ces deux égalités evérifiée, alorsxeentier.

d) [−x] =−[x]−1 sauf sixeentier, auquel cas [−x] =−[x].

e) [x] + [y]≤[x+y]≤[x] + [y] + 1.

f) Sim, x≥1 sont des réels, alors il y a exaement [x/m] multiples demcompris entre 1 etx.

g) Soient x < y deux réels non entiers. Montrer que [x] = [y] si et seulement si, il n’exie pas d’entier dans l’intervalle ]x, y[.

h) Soientx∈Retn∈Z, montrer que [n+x] =n+ [x].

Exercice.—(Théorème de Beatty) Pour un réelλ >0, on considère l’ensemble S_λ={[nλ]/ n∈N^∗}



/ a) Montrer queS_λ⊂N^∗si et seulement siλ≥1.

b) Montrer que siλ <1 alorsSλ=N.

c) Montrer que siλ≥1 alors, pour toutn, m∈N^∗on a [nλ] = [mλ]⇐⇒n=m.

d) Soientλ, µ≥1, montrer queSλ=Sµ⇐⇒λ=µ.

/ a) On suppose dans cette queion queλ e irrationnel et l’on considère un entier k >0.

Montrer quek∈S_λsi et seulement si, il exie un entiern∈

#k λ,k+ 1

λ

"

.

b) En déduire que siαetβsont des réels irrationnelsriement positifs vérifiant 1 α+1

β = 1 alors les ensemblesSαetSβ forment une partition deN^∗.

/ On suppose dans cette queion donnés deux réels α et β tels que les ensembles S_α et S_β forment une partition deN^∗.

a) En dénombrant, pour un entierk≥2 donné, les éléments de l’ensemble{1,· · ·, k−1}, montrer quek−1≤

"

k α

# +

"

k β

#

≤k+ 1. En déduire, en faisant tendrekvers l’infini, que 1 α+1

β = 1.

b) En raisonnant par l’absurde, montrer queαetβsont irrationnels.

/ On fixe un entier `≥1. Montrer qu’il exie une et une seule suite riement croissante d’entiers non nuls (u<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥1 telle que, si l’on pose v<sub>n</sub> =n`+u_n pour tout n≥1, U ={u_n/ n≥1} et V ={u_n/ n≥1}, alors{

N^∗U =V et décrire cette partie grâce à ce qui précède. Etudier plus particulièrement le cas`= 1.

Exercice.—Pourn≥0 entier, calculer explicitement X

k≥0

"

n+ 2^k 2^k+1

#

= n+ 1

2

+ n+ 2

4

+ n+ 4

8

+· · ·

(Ind. On pourra commencer par montrer que, pour tout réelx, on a [2x] = [x] + [x+ 1/2].) Exercicebis.—On se donne un entiern≥2 et un réelx. Montrer que

[nx] =

n−1

X

k=0

[x+k/n]

Exercice.—/ On se donne un entiera≥0 et, pour tout entiern≥1, on pose Qa(n) =

Xn

h=1

h^a= 1^a+ 2^a+ 3^a+· · ·+n^a

a) Prouver que, pour tout entierh≥1, on aQa+1(h+ 1)−Qa+1(h) =h^a+1+

a

X

i=0

C_a+1ⁱ hⁱ, et en déduire

que a

X

i=0

C_a+1ⁱ Qi(n) = (n+ 1)^a+1−1

Expliquer alors comment on peut calculer, par récurrence sura, les valeursQ_a(n).

b) Donner des expressions polynomiales faorisées ennpourQ0(n), Q1(n), Q2(n), Q3(n) etQ4(n).

/ On se donne un nombre premierpet un entiern≥0. On souhaite calculer

S_n=

p−1

X

k=1

"

k²ⁿ⁺¹ p

#



Pour tout entieri≥0, on noteQ_i=Q_i(p−1).

a) En remarquant queSn=

p−1

X

k=1

"

(p−k)²ⁿ⁺¹ p

#

, montrer que 2S_n= 1−p+

2n

X

i=0

(−1)ⁱC_2n+1ⁱ p²ⁿ⁻ⁱQi. b) Calculer explicitementS₀, S₁etS₂en fonion dep.

Exercice .— Montrer que pour tout n≥ 0, n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) e divisible par 24, et que n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) edivisible par 120.

Exercice.—Déterminer les entiern≥1 tels que 3ⁿ⁻¹+ 5ⁿ⁻¹divise 3ⁿ+ 5ⁿ. Exercice.—Trouver le ree de la division euclidienne de 100¹⁰⁰⁰par 13.

Exercice.—Déterminer le dernier chiffre de l’écriture en base 10 de l’entier 7⁷⁷⁷⁷⁷

7

.

Exercice.—a) Montrer que le ree de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair e1.

b) Montrer de même que tout nombre pair vérifiex²≡0,4 mod(8).

c) Soient a, b, c trois entiers impairs. Déterminer le ree modulo 8 de a²+b²+c² et celui de 2(ab+ac+bc). En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis queab+bc+canon plus.

Exercice.—Soienta≥2 etn≥1 tel queaⁿ+ 1 soit premier. Montrer quene en fait une puissance de 2.

Exercice.—Soientaetndeux entiers≥1. Montrer que√ⁿ

ae, soit entier, soit irrationnel.

Exercice.—Montrer que, pour tout entierk≥0, il exie des entiersntel qu’il n’exie aucun nombre premier dans l’intervalle [n, n+k].

Exercice.—En s’inspirant de la preuve d’Euclide de l’infinitude de l’ensemble des nombres premiers, montrer qu’il exie une infinité de nombre premier congru à−1 modulo 4.

Exercice.—Soientn≥2 un entier eta, b≥1 deux entiers

a) Soitb=aq+rla division euclidienne debpara. Donner le quotient et le ree de la division euclidienne den^b−1 parn^a−1 en fonion deqetr. En déduire que les propositions suivantes i)a|b,

ii) (n^a−1)|(n^b−1), sont équivalentes.

b) Soitd >0. Montrer que les propositions suivantes i)d= (a, b),

ii)n^d−1 = (n^a−1, n^b−1), sont équivalentes.

Exercice.—Soientaetbdeux entiers non nuls. Montrer queaetbsont premiers entre eux si et seulement si les entiersabet (a+b) le sont aussi.

Exercice.—Pour tout entiern≥1, on posesn=

n

X

k=1

k³.

) Montrer, par récurrence sur l’entiern≥1, que Xn

k=1

k=n(n+ 1)

2 .



) Montrer, par récurrence sur l’entiern≥1, ques_n=







 Xn

k=1

k









2

. En déduire une expression simple desnen fonion den.

) Pourn≥1 on posed_n= pgcd(s_n, s_n+1). Calculerd_nen diinguant le casnpair du casnimpair.

) Prouver finalement que, pour toutn≥1, pgcd(s_n, sn+1, sn+2) = 1.

Exercice.—a) Soientp≥1 un entier et, pour touti= 1,· · ·, n, un entier non nula_ipremier avec p. Montrer que l’entierA=a₁.· · ·.a_nepremier avecp.

b) En déduire que sipeun nombre premier alorspdivise le coefficient binomial C_pⁱ =p(p−1)· · ·(p−i+ 1)

i(i−1)· · ·1 pour touti= 1,· · ·, p−1.

(Ind. On pourra utiliser le lemme de Gauss.)

c) Prouver alors que, pour touta∈Net toutp premier, on aa^p ≡a mod(p) (Petit théorème de Fermat).

Exercice.—(Fraions égyptiennes)

/ Soit`≥1 un entier etc >0 un réel. Montrer que l’ensemble (

(x₁,· · ·, x<sub>`</sub>)∈N<sup>∗`</sup>/ 1 x1

+· · ·+ 1 x`

=c )

efini.

/ a) Soientx, y, z≥1 trois entiers. Montrer que1 x+1

y =1

z si et seulement si, il exie trois entiers u, v, w≥1 avec (u, v) = 1 tels que











x = u(u+v)w y = v(u+v)w z = uvw

b) On considèreu, v, w, u⁰, v⁰, w⁰≥1 six entiers tels queuvw=u⁰v⁰w⁰et tels que (u, v) = (u⁰, v⁰) = 1.

Montrer que

( u(u+v)w=u⁰(u⁰+v⁰)w⁰

v(u+v)w=v⁰(u⁰+v⁰)w⁰ ⇐⇒u=u⁰, v=v⁰, w=w⁰

c) En déduire que, si n≥ 1 e un entier dont la décomposition en faeurs premiers e n= p₁^e1· · ·p^e_k^k, alors l’ensemble

(

(x, y)∈N^∗2/ 1 x+1

y =1 n )

contient exaement 1 + Xk

i=1

2ⁱσ_i(e₁,· · ·, e_k) où lesσ_i désignent les fonions symétriques élémen- taires d’ordrek.

Exercice.—A/ (Triplets pythagoriciens) Un triplet d’entiers (x, y, z)∈N^∗3editpythagoricien six²+y²=z². On dira d’un triplet pyhtagoricien (x, y, z) qu’il eprimitif si en plus pgcd(x, y, z) = 1.

.— Expliquer comment la recherche des triplets pythagoriciens se ramène à la recherche des triplets pythagoriciens primitifs.

.—On suppose dans cette queion que (x, y, z) eun triplet pyhtagoricien primitif.

.a.—Montrer que les entiersx, y, zsont en fait premiers entre eux deux à deux.



.b.—En raisonnant par l’absurde, montrer quezenécessairement impair. En déduire quexet ysont de parités différentes.

.c.—Montrer que sixeimpair alors les entiersz−yetz+ysont premiers entre eux. En déduire que chacun de ces entiers eun carré.

.—Montrer que les triplets pyhtagoriciens primitifs (x, y, z) tels quexsoit impair etysoit pair, sont exaement les entiers de la forme

x=kl, y=k²−l²

2 , z=k²+l² 2

oùketlsont deux entiers impairs premiers entre eux tels quek > l. Donner alors trois exemples de triplets pythagoriciens primitifs.

.—Montrer que les triplets pyhtagoriciens primitifs (x, y, z) tels quexsoit pair etysoit impair, sont exaement les entiers de la forme

x= 2nm, y=m²−n², z=m²+n²

oùnetmsont deux entiers premiers entre eux et de parités différentes tels quem > n.

B/ (L’équationX^4h+Y^4h=Z^4h)

.—On souhaite montrer dans cette queion que six, yetzsojt trois entiers tel quex⁴+y⁴=z² alors au moins un de ces entiers enul (i.e. xyz= 0). On raisonne par l’absurde en supposant l’exience d’un triplet (x, y, z)∈N³tel quex⁴+y⁴=z²etxyz,0.

.a.—Montrer que l’on peut choisir le triplet (x, y, z) de sorte quezsoit minimal, c’e-à-dire que si (x⁰, y⁰, z⁰)∈N³désigne un triplet tel quex⁰⁴+y⁰⁴=z⁰²etx⁰y⁰z⁰,0 alorsz⁰≥z.

.b.— Montrer que x et y sont premiers entre eux et en déduire que (x², y², z) e un triplet pythagoricien primitif.

Quitte à intervertir le rôle dexet deyon va supposer dans la suite quex²epair. Il exie donc deux entiers premiers entre euxnetmde parités différentes tels quem > netx²= 2nm,y²=m²−n², z=m²+n².

.c.—Montrer qu’il exie deux entiersp > qpremiers entre eux et de parités différentes tels que n= 2pq,y=p²−q²etm=p²+q².

.d.—Montrer quem, petqsont des carrés et, en écrivantm=z⁰²,p=x⁰²etq=y⁰², montrer que x⁰⁴+y⁰⁴=z⁰². En déduire une absurdité.

.—Soienth≥1 un entier etn= 4h. Montrer que si (x, y, z)∈N³esolution de l’équation Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ

alorsxyz= 0. En déduire toutes les solutions entières de cette équation.

Exercice.—) Soientx, y∈R. Montrer, par récurrence sur l’entiern≥1, que xⁿ−yⁿ= (x−y).

n−1

X

k=0

x^ky^n−1−k

) Soienta, b, pdes entiers naturels non nuls.

a) Montrer que s’il exie un entierl∈Ntel queb=a+pl, alors pour touth∈N, il exie un entier m_h∈Ntel queb^h=a^h+pm_h.

b) En déduire que sia−bedivisible parp, alors l’entier

p−1

X

k=0

a^kb^p−1−kl’eaussi.

c) Prouver finalement que sia−bedivisible parpⁿpour un certain entiern≥1, alorsa^p−b^pe divisible parpⁿ⁺¹.

 Exercice.—Le but de cet exercice ede montrer que, pour toutn≥0, l’entier 7ⁿ+n³n’epas divisible par 9.

) a) Soita∈N, montrer que 7^a≡1 mod(9) si et seulement siaedivisible par 3.

b) Montrer que, pour toutn≥0,n³≡0,1 ou −1 mod(9).

) On considère un entiern≥0 tel que 9 divise 7ⁿ+n³. a) Montrer quen⁶≡1 mod(9) et donc que 7²ⁿ≡1 mod(9).

b) En déduire quenedivisible par 3 et conclure.

Exercice.—(Autour de la série harmonique) On considère, pour toutn≥1, le réel H(n) = 1 +1

2+· · ·+1 n

/ Montrer que la suite (H(n))ntend vers +∞.

/ Prouver que, pour tout n≥1,v2(H(n)) =−r oùre le plus grand entier tel que 2^r ≤n. En déduire queH(n) n’eentier que pourn= 1.

/ On fixe un entierm≥1 et pour toutn≥0, on poseu_n=H(m+n)−H(m) eta_n=v₂(u_n).

a) Montrer quea_n=−max

1≤k≤nv₂(m+k).

b) En déduire toutes les valeurs denetmpour lesquellesH(m+n)−H(m) eentier.

/ Soitp≥3 un nombre premier. On écrit H(p−1) = 1 +1

2+· · ·+ 1 p−1=a

b oùaetbsont premiers entre eux. Montrer quepdivisea.

/ (Théorème de Wolenholme)

a) Pourn≥1, expliciter le polynômeP_n(x) =

n−1

X

k=0

(−1)^k+1

k+ 1 C_n^kx^k+1. En déduire la valeur de

n−1

X

k=0

(−1)^k+1 k+ 1 C_n^k. b) Montrer que, pour toutn≥1, on aH(n) =

n

X

k=1

(−1)^k+1 k C_n^k.

(Ind. On pourra étudier la quantitéH(n+ 1)−H(n) et utiliser la queion précédente.) c) Montrer que sin≥3 désigne un entier impair alors

2H(n−1) =

n−1

X

k=1

(−1)^k+1 (n−1)!

k!(n−k)!

n(n−2k) k(n−k)

d) On suppose désormais quen=p≥3 eun nombre premier. Montrer qu’il exie un entierλ tel que

2H(p−1) = λp² (p−1)!−2p

p−1

X

k=1

(−1)^k+1 (p−1)!

k!(p−k)!

1 (p−k)

e) Montrer que, pour toutk = 1,· · ·, p−1, on a (p−1)· · ·(p−k+ 1) ≡(−1)^k+1(k−1)! mod(p). En déduire qu’il exie un entierλ_ktel que

(p−1)!

k!(p−k)!=λkp

k! +(−1)^k+1 k f) En déduire qu’il exie un entierµtel que

2H(p−1) = λp²

(p−1)!−2p µp (p−1)!−2p

p−1

X

k=1

1 k(p−k)



et montrer alors qu’il exie un entierMtel que

6H(p−1) = Mp² (p−1)!

f) Prouver finalement que sip≥5 désigne un nombre premier et siH(p−1) = 1 +¹₂+· · ·+_p−¹1=_b^a oùaetbsont premiers entre eux alorsp²divisea(ce théorème généralise le/).

/ Pourn≥1, on poseH(n) =a(n)

b(n) oùa(n) etb(n) sont deux entiers positifs premiers entre eux.

On veut montrer qu’il exie une infinité d’entiersnpour lesquelsa(n) n’epas une puissance d’un nombre premier. On raisonne par l’absurde et l’on suppose l’exience d’un entierN ≥1 tel que, pour toutn≥N,a(n) ela puissance d’un nombre premier.

a) En utilisant le/, montrer que, pour toutn≥1, on ab(n)> n/2.

b) En utilisant le /et le /, montrer qu’il exie un rangN₀ ≥ N tel que, pour tout nombre premierp≥N₀, l’entiera(p−1) eune puissance au moins carrée dep.

c) Soitp≥N₀un nombre premier. Montrer, par récurrence sur l’entierk≥1, que l’entiera(p^k−1) eune puissance au moins carrée dep.

(Ind. On pourra remarquer queH(p^k+1−1) =H(p^k−1)

p +

p^k−1 X

q=1 p−1 X

r=1 1 pq+r.)

d) En déduire quea(p^k−p) eaussi divisible parppour toutk≥2.

(Ind. On pourra remarquer queH(p^k−p) =H(p^k−1)− p−1 X

r=1 1 p^k−r.)

e) On choisit un premierp≥N₀, un entiern≥1 tel quepⁿne divise pasa(p−1) et un entierk > n tel quep^k−p >2pⁿ. On écrit

H(p^k−1)−H(p^k−p) = 1

p^k−1+· · ·+ 1

p^k−p+ 1=a b avecaetbdes entiers premiers entre eux.

i) Montrer quepⁿ|a.

ii) Montrer quea(p−1)≡amod(p^k).

iii) Conclure.

Exercice.—(Nombres de Fermat.)

) Soitm≥2 un entier.

a) On suppose quempossède un diviseur impairq≥3 et l’on posem=kq. Montrer que l’entier (2^k+ 1) eun diviseur de l’entier 2^m+ 1.

b) En déduire que si 2^m+ 1 eun nombre premier alorsaepair etmeune puissance de 2.

) Len-ième nombre de Fermat e, par définition, l’entierFn= 2²ⁿ+ 1.

a) Vérifier queF_neun nombre premier pourn= 0,· · ·,4.

b) Montrer que, pour tout entiern≥0,Fn+1= (F_n−1)²+ 1.

c) En déduire que, pour tout entiern≥2, le chiffre des unités deF_ne7.

d) En déduire aussi que, pour tout entiern≥1,F_n−2 =Q_n−1 k=0F_k.

e) Prouver alors que sin,msont deux entiers, les entiersFnetFmsont premiers entre eux.

) Soitp un nombre premier et a≥2 un entier tel qu’il exie un entier k ≥1 vérifiant : a^k ≡ 1 mod(p). On considère alorsk₀ le plus petit de ces entiersk≥1. Montrer que sik ≥1 vérifie

 a^k≡1 mod(p) alorsk₀|k.

(Indication. On pourra considérer la division euclidienne dekpark₀.)

) On se donne un entiern≥1 et un nombre premierp,FndivisantFn. a) Montrer que 2^p−1≡1 mod(p).

b) Montrer que 2²ⁿ⁺¹ ≡1 mod(p) et quek0= 2ⁿ⁺¹ele plus petit entierktel que 2^k≡1 mod(p).

c) En déduire quep=h2ⁿ⁺¹+ 1 oùh≥1 possède un diviseur impair≥3.

) a) Montrer que les diviseurs premiers éventuels de F5 sont de la forme p= 64h+ 1 où h= 3,5,6,7,9,10,· · ·eun entier qui possède un diviseur impair≥3.

b) Tenter sa chance avech= 10.

Exercice.—a) Montrer que pour toutn≥0 et toutk≥1, on a 2^2n+k−1 =

2²ⁿ−1

k−1

Y

i=0

2²ⁿ⁺ⁱ+ 1

b) Pour tout entiern≥0, on pose F_n = 2²ⁿ+ 1 (n-ième nombre de Fermat). Montrer que pour n,m,F_netF_msont premiers entre eux.

c) En déduire une nouvelle preuve de l’infinitude de l’ensemble des nombres premiers.

Exercice.—(Ecriture en base) On considère une suite d’entiers (n_k)_k≥0telle quen₀= 1 etn_k≥2 pour toutk≥1.

a) Montrer que, pour tout entierm≥1, il exie un unique indicek0≥0 et une unique suite finie d’entiersa0,· · ·, ak₀telle queai∈ {0,· · ·, ni+1−1}pour touti= 0,· · ·, k0etak₀,0 et telle que

m=a₀n₀+a₁n₀n₁+· · ·+a_k0n₀n₁· · ·n_k0

b) Enoncé le résultat précédent lorsque la suite (nk)k≥0econante égale à un entierb≥2 pour k≥1.

Exercice.—Calculer le pgcd des entiers 2⁴⁴⁵+ 7 et 15.

Exercice.—Le but de cet exercice ede chercher les triplets d’entier (a, b, k) aveck≥0,a≥b≥ 1 vérifiant l’équation

(E) 2^k=a²+b²

/ Soienta, b∈ZetN =a²+b². En étudiant le congruence deN modulo 4 montrer que siN e un multiple de 4, alorsaetbsont pairs.

/ En déduire, par exemple en opérant une récurrence, que pour tout entiern≥0, l’équation (E) ne possède pas de solution aveck= 2n.

/ Montrer que pour tout entiern≥0, l’équation (E) possède une unique solution aveck= 2n+ 1.

Exercice.—(Critères de divisibilité)

/ On considère les écritures en base 10. Montrer qu’un entier edivisible par a) 10 si et seulement s’il se termine par 0.

b) 5 si et seulement s’il se termine par 0 ou 5.

c) 2 si et seulement s’il se termine par un 0,2,4,6 ou 8.

d) 3 (resp. 9) si et seulement si la somme de ses chiffres l’eaussi.

e) 4 si l’entier formé par ses deux derniers chiffres l’eaussi.

f) 11 si la somme de ses chiffres de rang pair diminuée de la somme de ses chiffres de rang impair edivisible par 11.



/ On considère les écritures en baseb≥2.

a) Montrer que siddiviseb, alors un entier edivisible pardsi et seulement si le dernier chiffre de son écriture en basebelui-même divisible pard.

b) Montrer que siddiviseb−1, alors un entier edivisible pardsi et seulement si la somme des chiffres de son écriture en basebeelle-même divisible pard.

Exercice.—Le but de cet exercice ede démontrer que

√2 eirrationnel en utilisant l’algorithme d’Euclide. On raisonne par l’absurde et on suppose qu’il exie deux entiersriement positifs aetbtels que

√

2 =a/b. On posec=

√ 2 + 1.

a) Vérifier quea=b+^b_c, puis quec= 2 +¹_c.

b) Démontrer queb/ceun entier, et qu’il eégal au reer1de la division euclidienne deapar b.Quel ele quotientq1de cette division ?

c) Montrer que, dans la division euclidienne de b par r₁, le quotient e q₂ = 2 et le ree e r₂=r₁/c.

c) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Démontrer que l’algorithme d’Euclide appliqué au couple (a, b) comporte au moinsnétapes, que len-ième quotient eq_n= 2, et que len-ième ree er_n=r_n−1/c. Conclure.

Exercice .—(Autour de l’algorithme d’Euclide) Pour a, b deux entiers naturels non nuls, on noter₀> r₁>· · ·> r_N(a,b)la suite des rees de l’algorithme d’Euclide pouraetb.

I) a) Montrer que, pour tout pour touti∈ {0,· · ·, N(a, b)−2}, on ar_i+2<r_i 2. b) En déduire queN(a, b)<2 log₂b+ 1.

II) a)Que représente l’entierr_N(a,b)pour le couple (a, b)?

b) ComparerN(b, a) etN(a, b).

c) Soita=bq+rla division euclidienne deaparb. ExpliciterN(b, r) en fonion deN(a, b) quand r,0.

d) Prouver que sia⁰ désigne un entierriement positif tel quea≡a⁰ mod(b) alors N(a, b) = N(a⁰, b).

e) Expliquer comment, grâce aux queions précédentes on peut, sans faire le calcul, dresser le tableau à double entrées des valeurs de N(a, b) pour a, b ∈N^∗. Dresser ce tableau pour a, b ∈ {1,· · ·,10}.

III) On considère dans cette queion la suite (F_n)_n récurrente linéaire d’ordre  (dite de Fi- bonacci^) définie parF0= 1,F1= 2 et pour toutn≥0,

Fn+2=Fn+1+Fn

) a) Donner l’expression explicite de la suite (F_n)_n en fonion du nombre d’orω= 1 +

√ 5 2 et de son conjugué algébrique ωe= 1−

√ 5

2 . En déduire un équivalent simple de la suite (F_n)_n en fonion deω.

b) Montrer que pour toutn≥0 on a 1− ωe ω

!2

≤

√ 5Fn

ωⁿ⁺² ≤1− ωe ω

!3

et en déduire que pour toutn≥0 on a E(log_ωFn) =n.

) Montrer que pour toutn≥0, les entiersF_netF_n+1sont premiers entre eux.

) On pose N =N(a, b). Si (r_n)₀≤n≤N désigne la suite finie des rees de l’algorithme d’Euclide appliqué au couple (a, b), on note ( ¯r_n)₀≤n≤Nla suite finie définie par ¯r₀=r_N,r¯₁=r_N−1,· · ·,r¯_N =r₀. a) Montrer que pour toutn= 0,· · ·, Non aF_n≤r¯_n.

Leonardo Pisano ditFibonacci, mathématicien italien,(Pise?) -(Pise?)



b) Montrer queN(a, b)≤log_ωbet comparer ce résultat avec ceux précédemment établis.

c) Pour toutn≥0, évaluer explicitement en fonion denl’entierN(Fn+1, Fn).

d) En déduire qu’il exie une infinité d’entiersb >0 tels qu’il exie des entiersa >0 vérifiant N(a, b)>log_ωb−1.

Exercice.—On considère la suite de Fibonacci (F_n)_n(voir exercice).

a) Montrer que, pour toutn≥1, on aF_n+1F_n−1−F_n²= (−1)ⁿ. En déduire que pgcd(F_n, F_n+1) = 1.

Retrouver ce résultat en utilisant l’algorithme d’Euclide.

b) Montrer que, pour toutn≥0 et toutm≥1, on a Fn+m =FmFn+1+Fm−1Fn. En déduire que pgcd(Fn, Fm+n) = pgcd(Fn, Fm) puis que, pgcd(Fn, Fm) = pgcd(Fn, Fr) oùrele ree de la division euclidienne demparn.

c) Prouver finalement que pgcd(F_n, F_m) =Fpgcd(n,m).

Exercice.—(Théorème des quatre carrés) L’objet de cet exercice e de montrer la théorème suivant, conjeuré par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac enet démontré par Joseph Louis Lagrange en:tout entier positif esomme de quatre carrés.

/ a) Montrer que pourx₁,· · ·, x₄, y₁,· · ·, y₄∈Zon a la relation (dite d’Euler) suivante :

(x₁²+x²₂+x²₃+x²₄)(y²₁+y₂²+y₃²+y₄²) = (x1y1+x2y2+x3y3+x4y4)²+ (x1y2−x2y1+x4y3−x3y4)² +(x₁y₃−x₃y₁+x₂y₄−x₄y₂)²+ (x₁y₄−x₄y₁+x₃y₂−x₂y₃)². b) En déduire que pour montrer le théorème des quatre carrés, il suffit de montrer que tout nombre premierpesomme de quatre carrés. Le montrer pourp= 2.

/ On considère un nombre premier impairp.

a) Soienta, b∈ {0,· · ·,^(p−₂¹⁾}tels quea.bmod(p), montrer quea².b²mod(p).

b) Soienta, b∈ {0,· · ·,^(p−₂¹⁾}tels quea.bmod(p), montrer que−a²−1.−b²−1 mod(p).

c) En déduire qu’il exie deux entiersuetvet un entier 0< n < ptels quenp= 1 +u²+v².

/ On considère un nombre premier impairp.

a) Montrer qu’il exie un plus petit entierm≥1 tel quemp=x²₁+x₂²+x²₃+x²₄(pourx1, x2, x3, x4∈Z) et quem < p. On suppose dans la suite quem,1.

b) Pouri= 1,· · ·,4, l’on considère l’unique entiery_i ∈[^−m+1₂ ,^m₂] tel quey_i ≡x_i mod(m). Montrer quey₁²+y₂²+y₃²+y₄²=mroùreun entier tel que 0< r < m.

c) Montrer que l’on ampmr =z²₁+z²₂+z²₃+z²₄ où les entierszi sont divisibles par m, pour tout i= 1,· · ·,4.

d) En déduirem= 1 et donc quepesomme de quatre carrés.

Exercice.—(Formule de Legendre) On considère un entiern≥2 et un nombre premierp. Pour tout entierk≥0, on considère les sous-ensembles finisU_k,V_k etΩ_k deNdéfinis par

U_k = {a∈ {1,· · ·, n}/ p^k divisea} V_k = {a∈ {1,· · ·, n}/ p^k ne divise pasa} Ω_k = {a∈ {1,· · ·, n}/ v_p(a) =k}

) Juifier qu’il exie un plus petit entierk₀≥0 tel quen < p^k0. Montrer quek₀≥1 et expliciter k₀en fonion denetp.

) a) Montrer que, pour toutk∈ {0,· · ·, k0−1}, l’ensembleUk+1 e riement inclus dansUk et que pourk≥k0on aUk=∅.

b) Montrer que, pour toutk∈ {0,· · ·, k₀−1}, l’ensembleV_ke riement inclus dansV_k+1et que pourk≥k₀on aV_k={1,· · ·, n}.



c) Prouver que la famille de parties{Ω₀,· · ·,Ω_k0−1}forme une partition de l’ensemble{1,· · ·, n}.

) a) Pour toutk≥0, établir une relation ensemblie entreΩ_k,UketVk+1. b) Calculer, pour toutk≥0,]U_ket]V_k puis]Ω_ken fonion den, p.

) Montrer que,vp(n!) =X

k≥0

k.]Ωket en déduire que

v_p(n!) =X

k≥1

"

n p^k

#

) Montrer que, pour tout entiern,2 et tout premierp, on a

"

n p

#

≤v_p(n!)≤

"

n−1 p−1

# et que n−p

p−1−logn

logp< v_p(n!)

Exercice.—Grâce à la formule de Legendre, déterminer le nombre de 0 qui terminent l’écriture décimale de 2016!.

Exercice.—Pour tout entiern≥1, on poseδ(n) = ppcm(1,2,· · ·, n).

/ a) Etudier la suiteδ(n)/δ(n−1).

b) Montrer que, pour tout premierp∈P,vp(δ(n)) =

"

logn logp

# . c) En déduire queδ(n) =Y

p≤n

p^vp(δ(n)) et, par suite, queδ(n)≤n^π(n)oùπ(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs àn.

/ En utilisant la formule de Legendre, montrer que, pour toutn≥1, l’entierCⁿ_2ndiviseδ(2n).

/ a) Prouver que, pour toutn≥1, on aC_2nⁿ ≥ 4ⁿ 2√

n.

b) Montrer finalement que, pourn≥2, on aπ(n)≥log(2) n logn−1.

Exercice.—On souhaite montrer dans cet exercice que siaetnsont deux entiers≥1, alorsn!

divise le produit

n−1

Y

k=0

(aⁿ−a^k).

) Montrer que la propriété evraie pourn= 1,2.

) On supposen≥3 et l’on considère un nombre premierp.

a) Montrer quev_p(n!)≤

"

n p−1

# . b) Sivp(a)≥1, montrer que

v_p









n−1

Y

k=0

(aⁿ−a^k)









≥n(n−1)

2 ≥n

c) On suppose dans cette queion quev_p(a) = 0.

c.i) Soitkun entier tel quen−ksoit multiple dep−1. Montrer quevp(a^n−k−1)≥1.

c.ii) Prouver alors quev_p









n−1

Y

k=0

(aⁿ−a^k)









≥

"

n p−1

# .

) Conclure.



Exercice.—On souhaite montrer le résultat suivant :pour tout entiern >1, parmi2n−1entiers (non nécessairement diins), on peut toujours en trouverndont la somme edivisible parn.

/ On suppose donnés deux entiersnetmvérifiant la propriété annoncée et l’on considère une familleF de 2nm−1 entiers.

a) Montrer que l’on peut trouver 2m−1 sous-famillesF₁,· · ·,F_2m−1deF , disjointes deux à deux et comptant chacunenentiers telles que les sommes respeives de ces sous-familles,s1,· · ·, s2m−1

soient toutes divisibles parn.

b) On note d = pgcd(n, m) et l’on considère la famille G = {^s1

d,· · ·,^s2m_d⁻¹}. En considérant une certaine sous-famille de m éléments de G montrer qu’il exie une sous-famille de F denm éléments dont la somme edivisible parnm.

c) En déduire quenmvérifie alors la propriété annoncée et, par suite, que pour montrer la pro- priété en toute généralité il suffit de la montrer pourn=ppremier.

/ On se donne un nombre premierpeta₁,· · ·, a_2p−1entiers. En considérant dans le corpsZ/pZ les deux polynômesX₁^p−1+· · ·+X_2p^p−−¹1 eta1X₁^p−1+· · ·+a2p−1X_2p^p−−¹1 et en appliquant le théorème de Chevalley-Warning (voir exercice), montrer qu’il exie une sous famille depéléments de a1,· · ·, a2p−1dont la somme edivisible parp.

/ Montrer que, pour toutn≥2, il exie 2n−2 entiers tels que l’on ne puisse pas trouvernentiers parmi eux dont la somme edivisible parn.

Exercice.—(Conante de Mills) On note (pn)_nla suite croissante des nombres premiers et on admet le résultat (profond) de Ingham qui affirme qu’il exie une conanteK >0 telle que, pour toutn≥1,pn+1−p_n< Kp^5/n⁸.

/ a) Montrer que siN ≥K⁸ désigne un entier, alors il exie un nombre premierptel queN³<

p <(N+ 1)³−1.

b) En déduire qu’il exie une suite de nombres de premiers (qn)n telle que, pour tout n≥0, q³_n< qn+1<(qn+ 1)³−1.

/ Pour toutn≥0, on poseu_n=q_n³⁻ⁿ etv_n= (q_n+ 1)³⁻ⁿ.

a) Montrer que la suite (u_n)_nconverge vers un réelAqui vérifie que, pour toutn≥0,u_n< A < v_n. b) Montrer que, pour toutn≥0, l’entierh

A³ⁿi

epremier (théorème de Mills).

Exercice.—(Majoration de la fonionπ.)

Dans cet exercice, la lettrep désignera toujours un nombre premier, y compris quand elle sera utilisée comme indice de somme ou de produit. Par exemple,Y

p≤n

p désigne le produit des nombres premiers inférieur àn. Pour toutn≥1 on noteraπ(n) le nombre de nombres premiers compris entre 1 etn(ainsiπ(1) = 0,π(2) = 1, π(3) = 2, etc.). Sia≤b désigne deux entiers, on notera b

a

!

= b!

a!(b−a)! le coefficient binomial.

) a) Prouver que pour tout entiern≥1, on a 2n n

!

<4ⁿ. (Ind. On pourra développer l’égalité 4ⁿ= (1 + 1)²ⁿ.)

b) Montrer que sia etb désignent deux entiers tels que 0< b/2≤a < b alors le produit Y

a<p≤b

p divise b

a

!

(le produit considéré esupposé être égal à 1 dans le cas où il n’y aurait pas de nombre premierpdans l’intervalle ]a, b]).

En particulier, montrer que pour toutn≥1, le produit Y

n<p≤2n

pdivise 2n n

! .



c) Soitm≥1 un entier. Comparer les coefficients binomiaux 2m+ 1 m

!

et 2m+ 1 m+ 1

!

. En déduire que 2m+ 1

m

!

≤4^met, par suite, que l’on a l’inégalité Y

m+1<p≤2m+1

p≤4^m. (Ind. On pourra développer la quantité (1 + 1)^2m+1.)

d) Prouver que pour tout entiern≥1, on aY

p≤n

p≤4ⁿ.

(Ind. On pourra démontrer par récurrence, pourn≥1, la propriétéP_nsuivante : pour toutk= 1,· · ·,2non aY

p≤k p≤4^k.)

) a) Montrer que pour tout entierm≥1 on am!>

m e

m

. (Ind. On pourra se rappeler que pour toutx∈Ron ae^x=X

n≥0 xⁿ n!.)

b) Déduire de ce qui précède que pour toutn≥2,π(n)!≤4ⁿet, par suite que, π(n) logπ(n)−π(n)≤nlog 4

c) Prouver alors, en raisonnant par l’absurde, que pour toutn≥2 on aπ(n)≤16 n logn. Exercice.—(Divergence de la sérieX

p∈P

1 p)

On note (pn)nla suite (croissante) des nombres premiers. On veut prouver que la sérieX 1 p_n edivergente. On raisonne par l’absurde.

) Montrer qu’il exie un entierntel que X

k≥n+1

1 p_k ≤1

2.

) Fixons un entierN. On considère l’ensemble

A={h∈ {1,· · ·, N}/∃k≥n+ 1, p_k|h} et l’ensembleB={1,· · ·, N} −A.

a) Montrer que]A≤N /2 et, par suite, que]B≥N /2.

b) Montrer que le nombre d’élémentq∈Bsans faeur carré emajoré par 2ⁿ. c) Montrer que le nombre de carrés dansBemajoré par

√ N. d) En déduire que]B≤2ⁿ

√

N et conclure.

) En utilisant lethéorème des nombres premiers(du indépendamment à Hadamard et La Vallée Poussin) qui affirme queπ(n)'_n n

logn(oùπ(n) =]{1,· · ·, n} ∩P), donner un équivalent simple de la suite (p_n)_n. En déduire un équivalent simple de la suite des sommes partielles







 Xn

k=1

1 p_k









n

.

Exercice.—(Théorème de Wilson) Soitpun entier naturel non nul. Montrer que les proposi- tions suivantes sont équivalentes :

i)pepremier, ii) (p−1)!≡ −1 (p).

(Ind. Pour le sens dire, on pourra essayer de voir les classes modulopdes entiers (p−1)! et−1 comme le coefficient conant d’un même polynôme.)



Exercice.—L’Hioire raconte que les chinois procédaient de la façon suivante pour compter leur armées :le général demandait aux soldats de se mettre en rang deux par deux, et notait s’il reait un soldat isolé ou non. Il leur demandait ensuite de se mettre en rang trois par trois et notait encore le nombre de soldats isolés qu’il reait. On continuait ainsi, en se mettant en rang ensuite cinq par cinq, puis sept par sept, puis onze par onze, puis treize par treize et dix-sept par dix-sept.

Montrer que pour des armées de moins de cinq cent mille hommes, cette méthode permet effeivement de compter les soldats.

Exercice.—(Anneaux des fonions arithmétiques) On considèreS leC-espace veoriel des suites complexesu:N^∗→C. Un élément deSs’appelle une fonion arithmétique.

On notee la suite définie pare(1) = 1 et pour toutn≥2, e(n) = 0 et, siu et v sont deux éléments deS, on définit le produit de convolutiondes suitesu etv comme étant la suiteu∗v définie pourn≥1 par

(u∗v)(n) =X

ab=n

u(a)v(b) =X

d|n

u(n/d)v(d) =X

d|n

u(d)v(n/d)

/ a) Montrer que muni du produit de convolution,Seun anneau commutatif unitaire intègre.

b) Montrer qu’un élémentu∈Seinversible, pour∗, si et seulement siu(1),0.

c) Donner des exemples d’éléments premiers deS.

/ On définit la fonion de Möbius,µ∈S, par















µ(1) = 1

µ(p₁· · ·p_k) = (−1)^k sip₁,· · ·, p_k désigne des nombres premiers diins

µ(n) = 0 sinon

a) Prouver que µe l’inverse, pour∗, de la suite c conante égale à 1 (i.e. pour tout n≥1, c(n) = 1).

b) En déduire laformule d’inversion de Möbius: sif etg sont deux éléments deS tels que pour toutn≥1

f(n) =X

d|n

g(d) alors pour toutn≥1 on a

g(n) =X

d|n

µ(d)f(n/d) =X

d|n

µ(n/d)f(d)

c) Montrer que pour tout entiern≥1 on aX

d|n

ϕ(d) =noùϕdésigne l’indicateur d’Euler.

(Ind. On pourra procéder par récurrence sur le nombre de faeurs premiers den).

d) Déduire de ce qui précède une formule permettant de calculer simplementϕ(n).

Exercice.—(Calcul de det(pgcd(i, j))₁≤i,j≤n)

Pour n≥1 donné, on considère la matriceMn = (pgcd(i, j))1≤i,j≤n ∈ Mn(Z). On se propose de calculer det(Mn).

a) Montrer que pour tout 1≤i, j≤non a pgcd(i, j) = X

k|i et k|j

ϕ(k) oùϕdésigne l’indicateur d’Euler.

b) On considère les deux matrices A = (a_i,j)_i,j ∈ M_n(Z) et B = (b_i,j)_i,j ∈ M_n(Z) définies, pour 1≤i, j≤n, par

a_i,j=

( ϕ(j) sij|i

0 sinon b_i,j=

( 1 sii|j 0 sinon CalculerAB.



c) En déduire que det(Mn) = Yn

k=1

ϕ(k).

Exercice.—En utilisant l’exercice, montrer que lim sup

n

ϕ(n)

n = 1 et lim inf

n

ϕ(n) n = 0.

Exercice.—(Nombres parfaits)

/ Prouver que si l’entier 2^p−1 epremier alorspelui-même premier. Les nombres premiers de la forme 2^p−1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.

/ On considère les fonion arithmétiques "nombre de diviseurs" et "somme des diviseurs", notée respeivementδetσ, et définies pourn≥1, par

δ(n) =X

d|n

1 et σ(n) =X

d|n

d

a)Quelles relations la formule d’inversion de Möbius permet-elle d’obtenir pourδetσ ? b) Soitn=p^α₁¹.· · ·.p_k^αk la décomposition en faeurs premiers de l’entiern≥1. Montrer que

δ(n) = Yk

i=1

(α_i+ 1) et σ(n) = Yk

i=1

p^α_iⁱ⁺¹−1 p_i−1

c) En déduire queδetσ sont arithmétiquement multiplicatives (i.e. si (n, m) = 1 alorsδ(nm) = δ(n)δ(m) etσ(nm) =σ(n)σ(m)).

d) Prouver queδ(n) eimpair si et seulement sineun carré parfait.

e) Montrer que, pour toutn≥1,Y

d|n

d=

√ n^δ(n).

/ Un entier naturel edit parfait s’il ela somme de ses diviseurs positifsris, autrement dit neparfait si et seulement si 2n=σ(n). Par exemple 6 eparfait.

a) Montrer que si 2^p−1 e un nombre premier de Mersenne, alors l’entiern= 2^p−1(2^p−1) e parfait.

b) On considère un nombre parfait pairn. On écritn= 2^hmavecmimpair eth≥1. Montrer que les rapportsσ(m)/2^h+1etm/(2^h+1−1) sont égaux à un même entiert. Prouver quet= 1 et que par suiten= 2^h(2^h+1−1) avec 2^h+1−1 nombre premier de Mersenne.

Exercice.—Pour tout entiern≥1, on noted(n) le nombre de diviseurs positifs den.

/ a) On considèren=p^α₁¹· · ·p^α_h^hla décomposition en faeurs premiers den. Montrer qued(n) = Yh

i=1

(α_i+ 1).

b) En déduire que, sinetmsont des entiers premiers entre eux, alorsd(nm) =d(n)d(m).

/ a) Soient n≥1 et k∈ {1,· · ·, n}. Montrer que n+ 1

k

= n

k

si et seulement sik ne divise pas n+ 1.Que vautn+ 1

k

sik|(n+ 1) ?

(Ind. On pourra étudier les divisions euclidiennes denetn+ 1 park.) b) En déduire que, pour tout entiern≥1, on ad(1) +· · ·+d(n) =

n 1

+· · ·+ n

n

. c) Prouver alors que

n

X

k=1

d(k) =nlogn+O(n).