Correction travail maison 6 TS spécialité maths

Correction travail maison 6 TS spécialité maths

1. a. Pour tout entier naturel n, 3n³–11n48 divisible par n3 .

On remarque que 3n³–11n48=n33n²–9n16 1 ce qui suffit pour répondre à la question.

b. Pour tout entier naturel n, 3n²–9n16 entier naturel non nul.

Pour tout n , 3n²–9n16 est un entier (propriétés de ℤ), on démontre en calculant par exemple en calculant le discriminant de 3n²–9n16=0 que 0 donc 3n²–9n160 (du signe de 3) 2. a, b et c entiers naturels non nuls : PGCDa;b=PGCDbc – a;b ?

Soit d un diviseur commun de a et de b donc d∣aubv pour tout u et v entiers, en particulier d∣– abc u=–1et v=c. Ainsi d est un diviseur commun de bc – a et b .

Si d[bc – a et d∣b alors d∣bc –bc – a c'est à dire d∣a donc d est un diviseur commun à a et b . Les diviseurs communs de a et b sont donc les diviseurs communs de bc – a et b .

En particulier, PGCDa;b=PGCDbc – a;b 2

3. n supérieur ou égal à 2: PGCD3n³−11n ; n3=PGCD48; n3 ? D'après 1 : 48=n33n²–9n16−3n³–11n.

Appliquons la relation 2 à :

a b c

3n³–11n n3 3n²–9n16

PGCD3n³−11n ; n3=PGCDn33n²−9n6−3n³−11n; n3=PGCD48;n3

4. a. Diviseurs entiers naturels de 48.

Diviseurs de 48 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

b. n tels que 3n³–11n

n3 entier naturel.

3n³–11n

n3 ∈ℕ ⇒ n3∣3n³–11n donc PGCD3n³–11n;n3=n3 d'où PGCD48;n3=n3 ainsi n3 doit être un diviseur de 48, l'un des nombres 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 ou 48 c'est à dire

n=0, 1, 3,5, 9, 13, 21ou 45. Vérification : n=1 donne un entier négatif.

les nombres cherchés sont donc : 0,3,5,9,13,21 et 45.

Chiffrement de Lester Hill (1929)

1. Coder le mot "REQUIN" en détachant les trois blocs de deux lettres.

Le mot "RE", correspondant au couple 17,4=x₁, x₂ est codé par y₁, y₂=25,18, soit "ZS".

Le mot "QU", correspondant au couple 16,20=x₁, x₂ est codé par y₁, y₂=14,6, soit "OG".

Le mot "IN", correspondant au couple 8,13=x₁, x₂ est codé par y₁, y₂=1,25, soit "BZ".

2009©My Maths Space Page 1/2 1

2

REQUIN  ZSOGBZ

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2. Décodage

a. Si x₁, x₂, y₁ et y₂ vérifient

{

{

–35x₁11x₂118x₁3x₂≡ –15x₁–33x₂88x₁33x₂26 ⇔ –3y₁11y₂≡73x₁26

et de la même manière, on obtient aisément : 8y₁–5y₂≡73x₂26

b. Résoudre dans ℤ×ℤ, l'équation : 73x26y=1 , avec 0x25 .

On constate que 73 et 26 sont premiers entre eux donc l'équation admet des solutions en vertu du théorème de Bézout. On cherche une solution particulière: x₀;y₀=5 ;–14 en est une.

x₁;y₁ solution de 73x26y=1 ⇔ ^73x₁^26y₁⁼¹ et comme 73x₀26y₀=1, on peut écrire que 73x₁26y₁=73x₀26y₀ ce qui s'écrit aussi 73x₁– x₀=26y₀– y₁ 1

1 signifie que 73∣26y₀– y₁ et comme PGCD73;26=1, on peut utiliser le théorème de Gauss qui prouve que 73∣y₀– y₁ donc il existe k entier tel que y0– y₁=73k 2

1 implique aussi que 26∣73x₁– x₀ donc toujours avec le th. de Gauss : il existe k ' entier tel que : x₁– x₀=26k ' 3. 2 et 3 reportées dans 1 prouve que k=k ' .

Les solutions x₁;y₁ cherchées sont de la forme : 526k;–14–73k avec k∈ℤ. La solution cherchée avec 0x25 est obtenue pour k=0 : il s'agit de 5 ;–14

c. Décoder alors le mot "XEJQVVLDVW".

La solution à la question précédente signifie que : 73×5–26×–14=1 ⇒ 73×5≡126 d'où 73×5×x_i≡ x_i26 pour i=1ou2.

Tout naturellement, l'idée qu'il nous vient est la multiplication par 5 des deux relations de congruence :

{

{

{

Or, toujours avec les relations de congruence : –15y₁≡11y₁26 et 55y₂≡3y₂26 donc –15y₁55y₂≡11y₁3y₂26. De même, on prouve que 40y₁–25y₂≡14y₁y₂26

Et finalement on obtient :

{

"XE"  y₁;y₂=23; 4  x₁;x₂=5; 14  "FO".

"JQ"  9 ;16  17; 12  "RM".

etc...

 n'est ce pas ?

2009©My Maths Space Page 2/2

XEJQVVLDVW FORMIDABLE