Travail maison 1 TS

Travail maison 1 TS

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul :

• On note Pn la propriété : 1²2²3²n²=nn12n1

6 ,n1

• Initialisation : n=1 1²=1 et 1112×11

6 =1 donc P1 est vraie.

• Hérédité :On considère que Pn est vraie pour un n entier supérieur ou égal à 1.

1²2²3²n²n1²=nn12n1

6 n1² ⇔ 1²2²3²n²n1²=nn12n16n1²

6 ^⇔

1²2²3²n²n1²=n1[n2n16n1]

6 ^⇔

1²2²3²n²n1²=n12n²7n6

6 ^⇔

1²2²3²n²n1²=n1n22n3

6 ^c'est Pn1.

• Conclusion : D'après le principe du raisonnement par récurrence, la propriété Pn est vraie pour tout n entier naturel supérieur ou gal à1.

Application : Calculer la somme des carrés de 1 à 50.

1²2²3²50²=505012×501

6 =50×51×101

6 =42925 ______

Soit u_n_n0 la suite définie par :

{

Déterminer une formule explicite de u_n, et étudier la limite éventuelle de la suite u_n.

On résout =0,45 ⇔ 0,6=5 ⇔ = 5

0,6 ⇔ =25 3 . On pose v_n=u_n–25

3 pour n∈ℕ et v_n1=u_n1–25

3 =0,4u_n5–25

3 =0,4u_n–10

3 =0,4



0,4







0,4 et de terme initial v₀=u₀– 25

3 =10–25 3 =5

3 . Ainsi pour tout n∈ℕ, v_n=5

30,4ⁿ. v_n=u_n–25

3 ⇔ u_n=v_n25

3 ⇔ u_n=5

30,4ⁿ25 3 . Comme –10,41 , lim

n∞

0,4ⁿ=0 et grâce aux opérations sur les limites, on obtient : lim

n∞u_n=25 3

2010©My Maths Space Page 1/1 1

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