() () () () () () () () () () () () () DEVOIR A LA MAISON N°2. TS .

DEVOIR A LA MAISON N°2. TS .

Pour le I. f est la fonction définie sur \{−3} par f( x) x² 2x 3

x 3 et ( ) ^u

est la suite définie pour tout n de par u

= f (n ).

1. Etudier le signe de u

u

et en déduire le sens de variations de la suite ( ) ^u

. 2. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

.

3. Construire le tableau de variation de la fonction f.

4. Retrouver le sens de variation de la suite ( ) ^u

à l aide de la question 3.

5. ( ) ^v

est la suite définie pour tout n de par





v

2 v

f ( ) ^v

et ( ) ^w

est la suite définie pour tout n de par





w

=5

w

=f ( ) ^w

^.

a. Calculer v

et v

. Détailler les calculs.

b. Peut-on déduire des variations de f les variations des suites ( ) ^u

^et ( ) ^v

? Pourquoi ? c. A la calculatrice, conjecturer les variations et la limite des suites ( ) ^v

et ( ) ^w

. d. Résoudre l équation f (x ) x. Que remarque-t-on ?

II. ( ) ^v

est la suite définie pour tout n de par v

5 et v

1

2 v

1. Montrer par récurrence que, pour tout n de , 2 v

5.

III. Pour tout entier n 1, on pose n! 1 2 3 4 … (n 1) n . n! se lit "factorielle n".

1. Calculer 6! et 3

.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier n 7, n! 3

.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°2. TS

I.

1. Soit n un entier naturel.

u

u

( n 1)² 2(n 1) 3 n 4

n² 2n 3 n 3

n² 4n 6 n 4

n ² 2n 3 n 3 (n² 4 n 6)( n 3) ( n² 2n 3)(n 4)

( n 4)( n 3)

n² 7n 6 ( n 4)( n 3)

Signe de n² 7n 6 : 25 donc le trinôme a deux racines qui sont 6 et 1 et il est du signe de a 1 sauf entre ces racines.

On peut construire le tableau de signes suivant, n étant supérieur ou égal à 0 :

n 6 1 0 +

n ² 7n 6 + + +

n 4 +

n 3 +

signe de un 1 u

+

Pour tout n de , u

u

0 donc la suite ( ) ^u

est croissante.

2. Pour tout n de , u

n² 2n 3 n 3

n ²





1

n 3 n²

n



1

n

= n

1

n 3 n²

1

n

lim

n

2

n

lim

n

3

n²

lim

n

3

n

0 donc lim

n

1

n 3

n²

lim

n

1

n

1 Ainsi, lim

n

1

n 3 n²

1

n

1

1 1 et lim

n n donc lim

n un .

3. f est définie et dérivable sur \{−3}.

f ( x) (2 x 2)( x 3) ( x ² 2x 3)1 (x 3)

x² 6x 3 ( x 3)

Signe de x² 6x 3 : 24 donc le trinôme a deux racines qui sont 3 6 et 3 6 et il est du signe de a 1 sauf entre ces racines.

On peut construire le tableau de variation suivant :

n 3 6 3 3 6 0 +

x² 6 x 3 + +

(x 3)

+ + + +

signe de f (x) + +

variations de f

2 6 4

4. La fonction f est croissante sur [0 [ et ( ) ^u

est définie par u

f (n ) donc la suite ( ) ^u

^est

croissante.

5.

a. v

f ( ) ^v

^{f (2) 2² 2 2 3}

2 3

11

5 . v

f ( ) ^v

^f

¹⁵³

65 .

b. Les suites ( ) ^u

^et ( ) ^v

ne sont pas définies de façon explicite mais par récurrence donc on ne peut pas déduire des variations de f les variations des suites ( ) ^u

^et ( ) ^v

^.

c. Il semble que ( ) ^v

soit croissante et que ( ) ^w

soit décroissante. Les deux suites semblent avoir pour limite 3.

d. x 3 0  x 3. La val eur i nt erdite est 3.

f( x) x  x² 2 x 3

x 3 =x

2 x 3 x (x 3) et x≠ 3

x² 2x 3 x² 3x et x≠ 3

3 x et x≠ 3

3 x S {3}. On retrouve la limite des suites ( ) ^v

^et ( ) ^w

^.

II. Initialisation : v

5 et 2 5 5 donc 2 v

5 : la propriété est vraie pour n 0.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que 2 v

5. Montrons que 2 v

5.

2 v

5 donc 1 1 2 v

5 2 car 1

2 0.

donc 2 1

2 v

1 3 2 et 3

2 5.

donc 2 v

5 : la propriété est héréditaire.

Conclusion : pour tout n de , 2 v

5.

III.

1. 6!=1 2 3 4 5 6=720 et 3

729.

2. Initialisation : 7! 720 7 5040 et 3

2187 donc 7! 3

. La propriété est vraie pour n 7.

Hérédité : Soit p un entier supérieur ou égal à 7 tel que p ! 3

. Montrons que (p 1)! 3

. p ! 3

donc (p 1) p ! ( p 1) 3

car ( p 1) 0

Or ( p 1) p ! (p 1) p (p 1) … 1 (p 1)!

donc ( p 1)! ( p 1) 3

Or p 7 donc p 1 8 3

donc ( p 1)! 3 3

, c'est -à-di re (p 1)! 3

.

Conclusion : pour tout entier n 7, n! 3

.