DEVOIR A LA MAISON N°4 2

DEVOIR A LA MAISON N°4 2

1.

Pour le mercredi 16 janvier 2019.

SUJET A

Commencez ce DM dès que vous avez le sujet afin de pouvoir poser des questions si vous en avez besoin.

I. Montrer que pour tout réel x, 2 x 1

3 x 2

7 x x² x 2.

II. On considère les deux expressions A(x) x⁶ 12x⁵ 100x⁴ 400x³ 800x² 764x et B(x) 9x⁵ 75x⁴ 335x³ 824x 1000x 720.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant :

x 1 2 3 4 5 6

A(x) B(x)

2. A partir de ce tableau, que peut-on conjecturer ?

3. Démontrer ou infirmer (chercher dans le dictionnaire si vous ne connaissez pas le sens) le résultat conjecturé à la question précédente.

III.

Partie A.

f es t l a foncti on défi nie sur par f(x) 2x² 16x 55.

1. Tracer la courbe de f à la calculatrice dans une fenêtre bien choisie. Reproduire l allure de la courbe sur votre copie.

2. Quel semble être le minimum de f ? Pour quelle valeur de x ? 3. Le prouver en vous inspirant de la méthode vue à la fin du cours.

Partie B.

Un paysagiste veut créer une terrasse dans un terrain rectangulaire de 11m sur 5m selon le schéma ci- dessous. Le terrain est représenté par le rectangle ABCD et la terrasse par le quadrilatère MN PQ.

On note x AM BN PC QD en m et A(x) l aire de la terrasse en m².

Il cherche à placer le point M de façon à ce que la terrasse ait la plus petite aire possible.

1. Quel est l ensemble de définition de la fonction A ?

2. Où le paysagiste doit-il placer le point M pour que l aire de la terrasse soit la plus petite possible ?

Terrasse

DEVOIR A LA MAISON N°4 2

1.

Pour le mercredi 16 janvier 2019.

SUJET B

Commencez ce DM dès que vous avez le sujet afin de pouvoir poser des questions si vous en avez besoin.

I. Montrer que pour tout réel x, 2 x 1

3 x 2

7 x x² x 2. II. Voici le tableau de variation d une fonction :

x ‒5 ‒ 2 1 3 f(x)

5 3 4 1

1. Quel est l ensemble de définition de f ? 2. Quel est le maximum de f ?

3. Quel est le minimum de f sur [ 5 2] ? 4. Comparer si possible et justifier :

a. f(2) et f(2,5).

b. f(0) et f(0,5).

c. f(0) et f(2).

d. f( 4) et f(2).

5. Déterminer le nombre d antécédents par f de 4,5. Expliquer.

6. On sait que l image de 0 est 4. Résoudre l inéquation f(x) 4.

7. On sait de plus que les antécédents de 2 sont ,5 et 2. Construire une courbe possible pour la fonction f. Marquer sur la courbe les points utilisés.

III. Voici la courbe d une fonction f.

1. Donner l ensemble de définition de f.

2. Donner l image de 2 par f.

3. Déterminer le minimum de f. Préciser pour quelle valeur de x il est atteint.

4. Déterminer le maximum de f. Préciser pour quelle valeur de x il est atteint.

5. Construire le tableau de variation de la fonction f.

6. Construire le tableau de signes de la fonction f.

2 -1

-2 -3 -4

2 3

-1 -2

0 1

1

x y

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°4. 2

1.

SUJET A

I. Soit x un réel.

2 x 1

3 x 2

2(x 2)

(x 1)(x 2) 3(x 1) (x 2)(x 1)

2(x 2) 3(x 1) (x 2)(x 1)

2x 4 3x 3 x² 2x x 2

7 x x² x 2 Ainsi, pour tout réel x, 2

x 1 3 x 2

7 x x² x 2.

II. On considère les deux expressions A(x) x⁶ 12x⁵ 100x⁴ 400x³ 800x² 764x et B(x) 9x⁵ 75x⁴ 335x³ 824x² 1000x 720.

Attention : il y avait une erreur dans l énoncé. C est 824x² et non 824x.

1. On obtient :

x 1 2 3 4 5 6

A(x) 275 248 21 1 552 6 805 20 760

B(x) 275 248 21 1 552 6 805 20 760

2. On peut conjecturer que, pour tout réel x, A(x) B(x).

3. Pour x 0 : A(0) 0 et B(0) 720. A(0)  B(0) donc la conjecture est fausse : on l a infirmé.

Remarque : les seuls réels x tels que A(x) B(x) sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

III.

Partie A.

f es t l a foncti on défi nie sur par f(x) 2x² 16x 55.

1. En choisissant la fenêtre : xmin 5, xmax 10, ymin 2 et ymax 80, on obtient :

2. A l aide de la fonction Trace, on observe que le minimum de f semble être23 pour x 4.

3. f(4) 2 4² 16 4 55 23

Pour tout x de , f(x) f(4) 2x² 16x 55 23

2x² 16x 32

2(x² 8x 16)

2(x 4)² 0

Ainsi, pour tout x de , f(x) 2 3. De plus, 23 est l image de 4 par f.

Ainsi, le minimum de f sur est 23, atteint pour x 4.

Partie B.

1. x AM est une longueur donc x 0. De plus, x BC 5. L ensemble de définition de A est donc l intervalle [0 5].

2. Aire du rectangle ABC D : 5 11 55 Aire des triangles AMQ et PCN : x(5 x)

2 Aire des triangles DQP et NBM : x(11 x)

2 Aire de la terrasse : 55 2 x(5 x)

2 2 x(11 x)

2 55 x(5 x) x(11 x)

55 5x x² 11x x² 2x² 16x 55 f(x) où x est la fonction de la partie A D après la partie A, le minimum de f est 23, pour x 4.

4 appartient à l ensemble de définition de la fonction A donc le paysagiste doit placer le point M à 4m de A pour que l aire de la terrasse soit la plus petite possible. Cette aire est alors 23m².

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°4. 2

1.

SUJET B I. Soit x un réel.

2 x 1

3 x 2

2(x 2)

(x 1)(x 2) 3(x 1) (x 2)(x 1)

2(x 2) 3(x 1) (x 2)(x 1)

2x 4 3x 3 x² 2x x 2

7 x x² x 2 Ainsi, pour tout réel x, 2

x 1 3 x 2

7 x x² x 2. IV.

1. L ensemble de définition de f est [ 5 ; 3].

2. Le maximum de f est 5. Il est atteint pour x 2.

3. Le minimum de f sur [ 5 ; 2] est 4. Il est atteint pour x 5.

4.

a. f(2) f(2,5) car f est croissante sur [1 ; 3].

b. f(0) f(0,5) car f est décroissante sur [ 2 ; 1]

c. f(0) et f(2) : on ne peut pas savoir.

d. f( 4) f(2) car f( 4) est compris entre 4 et 5 et f(2) est compris entre 1 et 3.

5. 4,5 a un antécédent entre 5 et 2 car f( 5) 4 4,5 f( 2) 5 et f est croissante sur [ 5 ; 2].

4,5 a un antécédent entre 2 et 1 car f( 2) 5 4,5 f(1) 1 et f est décroissante sur [ 2 ; 1].

4,5 n a pas d antécédent entre 1 et 3 car le maximum de f sur [1 3] est 3 4,5.

Ainsi 4,5 a deux antécédents par f.

6. L inéquation f(x) 4 a pour ensemble de solutions : S [ 5 0].

7.

V.

1. L ensemble de définition de f est [ 3 2].

2. L image de 2 par f est 2.

3. Le minimum de f est 2 pour x 2.

4. Le maximum de f est 3, pour x 0.

5. Voici le tableau de variations de f :

6. Voici le tableau de signes de la fonction f.

x ‒3 2 0 2 f(x)

2 3 1 2

x ‒5 1,4 3 f(x)